¿Existe un producto punto "invertido"?

Question

El producto punto de los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ se define como: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$$

¿Y la cantidad? $$\mathbf{a} \star \mathbf{b} = \prod_{i=1}^{n} (a_{i} + b_{i}) = (a_{1} +b_{1})\,(a_{2}+b_{2})\cdots \,(a_{n}+b_{n})$$

¿Tiene un nombre?

La "suma de puntos" parece en gran medida inapropiada. Ahora que lo pienso, me parece interesante que el producto punto se denomine así, dado que es, después de todo, una "suma de productos" (aunque soy consciente de que las propiedades de $\mathbf{a} \cdot{} \mathbf{b}$ en particular la distributividad, lo convierten en un nombre significativo).

$\mathbf{a} \star \mathbf{b}$ es conmutativo y tiene la siguiente propiedad:

$\mathbf{a} \star (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{b} \star (\mathbf{a} + \mathbf{c}) = \mathbf{c} \star (\mathbf{a} + \mathbf{b})$

Answer 1

Demasiado largo para un comentario, pero enumeraré algunas propiedades a continuación, con la esperanza de que surja alguna idea.

• ${\bf a}\star {\bf b}={\bf b}\star {\bf a}$ ;
• $(c{\bf a})\star (c {\bf b})=c^n ({\bf a}\star {\bf b})$ ;
• $({\bf a+b})\star {\bf c} = ({\bf a+c})\star {\bf b} = ({\bf b+c})\star {\bf a}$ ;
• ${\bf a}\star {\bf a} = 2^n a_1\cdots a_n$ ;
• ${\bf a}\star {\bf 0} = a_1\cdots a_n$ ;
• $(c{\bf a})\star {\bf b} = c^n ({\bf a}\star ({\bf b}/c))$ ;
• ${\bf a}\star (-{\bf a}) = 0$ ;
• ${\bf 1}\star {\bf 0} = 1$ , donde ${\bf 1} = (1,\ldots,1)$ ;
• $\sigma({\bf a}) \star \sigma({\bf b}) = {\bf a}\star {\bf b}$ , donde $\sigma \in S_n$ actúa como $\sigma(a_1,\ldots,a_n) \doteq (a_{\sigma(1)},\ldots,a_{\sigma(n)})$ .

Answer 2

No sé si tiene un nombre concreto, pero en esencia es un tipo peculiar de convolución. Tenga en cuenta que $$ \prod_{i}(a_{i} + b_{i}) = \sum_{X \subseteq [n]} \left( \prod_{i \in X} a_{i} \right) \left( \prod_{i \in X^{c}} b_{i} \right), $$ donde $X^{c} = [n] \setminus X$ y $[n] = \{1, 2, \dots n\}$ . En otras palabras, si definimos $f_{a}, f_{b}$ a través de $$ f_{a}(X) = \prod_{i \in X}a_{i}, $$ entonces $$ a \star b = (f_{a} \ast f_{b})([n]) $$ donde $\ast$ denota el producto de convolución $$ (f \ast g)(Y) = \sum_{X \subseteq Y} f(X)g(Y \setminus X). $$ Para saber más sobre esto, recomendaría leer sobre las funciones multiplicativas y la inversión de Moebius en teoría de números. No sé si existe una teoría general al respecto, pero la noción de convolución aparece en muchos contextos (ver esto artículo de wikipedia y otra sobre su papel en la teoría de los números ).

Editar: Por si sirve de algo, la operación no es una operación vectorial en sentido lineal-algebraico. Es decir, no se conserva bajo el cambio de base. De hecho, ni siquiera se conserva bajo el cambio de base ortogonal (también conocido como rotación). Por ejemplo, consideremos $a = (3,4) \in \mathbb{R}^{2}$ . Tenga en cuenta que $a \star a = 32$ . A continuación, aplicamos la rotación adecuada $T$ definido por $T(a) = (5, 0)$ . Entonces vemos $T(a) \star T(a) = 0$ .

Answer 3

Yo escribiría $$ \mathbf{a} \star \mathbf{b} = \prod_{i=1}^{n} \left(a_{i} + b_{i}\right)=(a_{1} +b_{1})\,(a_{2}+b_{2})\cdots \,(a_{n}+b_{n}) $$ como $$ \mathrm{prod}\left(\mathbf{a}+\mathbf{b}\right), $$ donde $\mathrm{prod}\left(\right)$ es el función del producto de la matriz , $$ \mathrm{prod}\left(\mathbf{x}\right)~{\equiv}~\prod_{{\forall}\text{indices}~i}{x_i}. $$

Como se ha comentado en Respuesta de @6005 Las buenas propiedades de esta operación se derivan de la simplicidad de esta construcción.

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Alternativas: " Log-norm " o " producto-norma "

Hay $p$ -normas, $$ {\left|\left|\mathbf{x}\right|\right|}_p~{\equiv}~{\left(\sum_{{\forall}i}{\left|{x_i}\right|}^p\right)}^{p^{-1}}, $$ que se define más generalmente como:

1. Algunas transformaciones a nivel de elementos, por ejemplo ${\left(\right)}^{p}$ se aplica.

2. Los elementos transformados se suman.

3. La transformación inversa, por ejemplo ${\left(\right)}^{p^{-1}}$ se aplica.

Un producto de matrices puede escribirse de esta forma, en la que la transformación de elementos es $\ln{\left(\right)}$ y su reverso es $\exp{\left(\right)}$ es decir $$ {\left|\left|\mathbf{x}\right|\right|}_{\text{log}}~{\equiv}~\exp{\left(\sum_{{\forall}i}{\ln{{x_i}}}\right)}. $$ Así, esto podría escribirse como $$ {\left|\left|\mathbf{a}+\mathbf{b}\right|\right|}_{\text{log}}, $$ que podría llamarse " log-norm " por analogía con $p$ -normas.

Esto ocurre en topología del producto Así que podríamos llamarlo el " norma del producto " .

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Sugerencia: Intentar trabajar en el dominio de la transformación logarítmica

Desde un punto de vista práctico, yo trataría de trabajar en el dominio de la transformación logarítmica siempre que fuera posible. Es decir, $$\mathrm{prod}\left(\mathbf{a}+\mathbf{b}\right)$$ es una expresión bonita y limpia, pero $$\mathbf{a}+\mathbf{b}$$ es realmente limpio.

Sería más fácil describir exactamente cómo hacer esto si se conociera el dominio del problema, pero una idea general abstracta sería algo así:

1. En la actualidad, básicamente estás sumando vectores y multiplicando los elementos de la suma.

2. La limpieza de este sistema se ve obstaculizada por su formulación como una red de sumas y multiplicaciones; una u otra sería mucho más sistemática.

3. Se puede convertir una en la otra utilizando transformaciones exponenciales/logarítmicas.

4. Por lo tanto, encuentre sus entradas/salidas, y $\exp{}$ / $\ln{}$ 'em.

En cuanto a los precedentes, este tipo de técnica se utiliza ampliamente en casos específicos como Transformación de Laplace y Transformación de Fourier . Por lo tanto, parece que básicamente deberías intentar crear tu propio dominio de transformación a escala logarítmica apropiado para el problema.

Answer 4

Muchas operaciones se expresan mejor como la combinación de varias más sencillo operaciones. Por ejemplo, si yo definiera $$ \vec{u} \oplus \vec{v} := \frac{u + v}{2}, \tag{1} $$ esto puede tener algunas buenas propiedades - como la conmutatividad, $(\vec{u} \oplus \vec{v}) \oplus (\vec{w} \oplus \vec{x}) = (\vec{u} \oplus \vec{w}) \oplus (\vec{v} \oplus \vec{x})$ , $\vec{u} \oplus \vec{u} = \vec{u}$ y así sucesivamente.

Sin embargo, en la mayoría de los contextos, sería mejor definir sólo la adición, y escalar un vector por $\frac12$ . Este concepto es un derivado concepto y no necesita un nombre propio. Sus propiedades se expresan mejor como resultado de las propiedades de $+$ y de escalar por $\frac12$ .

La respuesta de Nat expresa su operación, $\star$ como la composición de dos operaciones más simples: $$ \vec{a} \star \vec{b} = \mathrm{prod}\left(\vec{a}+\vec{b}\right), $$ donde $\mathrm{prod}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es el producto de las coordenadas de un vector. Hasta ahora, cada propiedad que he visto en esta página sobre $\star$ se deriva ya de las propiedades de $+$ y propiedades del prod. En particular, no hay ninguna expresión algebraica que parezca más agradable de escribir en términos de $\star$ un matemático en activo siempre preferirá expresarlo en términos de $+$ y $\mathrm{prod}$ .

Ahora, puede ser que encuentres una expresión o un contexto donde $\star$ es la forma correcta de expresar las cosas (tendría que ser algo muy diferente del álgebra lineal habitual). Si lo hace, su operación es útil. Pero creo que $\star$ oscurece en lugar de iluminar hasta ahora, mientras que el uso de $+$ y $\mathrm{prod}$ se ilumina.

Answer 5

Un problema obvio parece ser que no se comporta bien bajo un cambio de base. Considere $\vec{a}=\vec{b}=\left(1,0\right)$ . Entonces $\vec a\star \vec b=0$ pero tras un cambio a otra base (todavía ortonormal), podríamos tener $\vec{a}=\vec{b}=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ y $\vec a\star \vec b=2$ .

Se puede calcular la expresión general de cómo se transforma el "producto-estrella", pero este ejemplo ya muestra que una transformación bien hecha cambia el resultado de cero a distinto de cero. En un $d$ -espacio dimensional, se podría, por ejemplo, elegir libremente $d-1$ vectores $\vec v_a$ y elegir una base que su última componente sea cero. Entonces todos los productos $\vec v_a\star \vec v_b=0$ .

Por lo tanto, el producto estrella parece ser una operación sobre $d$ -partidas de números, pero no en vectores.

ACTUALIZACIÓN

Podemos convertir esto en una expresión vectorial adecuada si incluimos alguna estructura extra: Supongamos que el espacio vectorial está dotado de un producto escalar y fijemos una base ortonormal $\vec e_{(i)}$ . En esta base, defina el producto como lo hizo. Entonces la generalización obvia es $$\vec a\star\vec b= \prod_i\left<\vec a+\vec b,\vec e_{(i)}\right>\,.$$ Geométricamente, esto mide la $d$ -volumen dimensional de la caja (hiperrectángulo) con $\vec a+\vec b$ como la "diagonal espacial". El problema, por supuesto, es que ahora que el volumen depende del conjunto ortonormal $\left\{\vec e_{(i)}\right\}$ , por lo que en cualquier otra base, la expresión parecerá bastante más complicada.

Por supuesto, como se ha mencionado por Nat y 6005, esto sería más fácil de enmarcar en términos de la expresión en el derecho aplicado a la suma de $\vec a$ y $\vec b$ . (Puede llamarlo $\text{prod}$ de los componentes). El $\star$ La operación en sí no parece ser muy "productiva" en cuanto a $\vec a$ y $\vec b$ están preocupados.