No entiendo por qué el nivel de rigor utilizado aquí es necesario

Question

Estos son los apuntes del curso de cálculo del MIT, 18.014.

A partir de la página 4, el profesor se lanza a una larga demostración de que el conjunto de todos los enteros $\mathbb Z$ se cierra bajo la adición.

No veo por qué no puedo demostrarlo razonando de la siguiente manera. Todos los enteros en $\mathbb Z$ son elementos de $P$ (el conjunto de enteros positivos), el negativo de $P$ o bien $0$ . $P$ se define como el conjunto de elementos comunes a todos los conjuntos inductivos. Así, $P$ por lo tanto, contiene $1$ y $x+1$ para cualquier $x$ . Cualquier número $a,b$ en $P$ es un número entero por definición, y se compone de la suma de $1+1$ varias veces. Por lo tanto, sumar o restar $a$ y $b$ es realmente sumar o restar $1$ varias veces.

Lo que significa que el conjunto de todos los enteros es cerrado bajo la suma y la resta, ya que sólo se pueden obtener enteros.

Entonces, ¿por qué es necesario el nivel de rigor en las notas de clase?

Answer 1

Cuando se escribe "se compone de la adición de $1+1$ múltiples veces", parece que estás asumiendo que ya saber cómo funcionan los números enteros, porque estás implicando un argumento sobre el recuento del número de términos en una expresión que se evalúa a su resultado.

Hay al menos dos problemas con eso. En primer lugar En realidad, no estás demostrando nada a partir de tus axiomas, como mucho estás demostrando que tus axiomas describen lo mismo intuitivo noción sobre los enteros que ya estás utilizando para razonar sobre ellos, pero eso no satisface realmente el propósito de dejar claro en qué supuestos fundamentales estás basando realmente tu trabajo.

Segundo estás asumiendo que cada elemento de $P$ puede escribirse como $1+1+\cdots+1$ pero no tienes ninguna prueba de ello, por los principios de los que partes. Y dudo que tal prueba pueda existir en el punto de desarrollo en el que te encuentras -- tu axioma de inducción es un poco vago en cuanto al tipo de propiedades a las que se aplica, pero no creo que esté pensado para permitir hablar de cosas como " $1+1+\cdots+1$ " antes de haber conseguido una base sólida de los números enteros.

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(Por cierto, me parece que la dirección de las notas es un poco extraña: suponen que ya sabes lo que el números reales y establece de ellos son y a partir de ahí intentar definir el enteros de forma axiomática fundacional. No es una forma muy ortodoxa de introducir el rigor. Es posible que no haya una forma realmente satisfactoria de motivar las decisiones tomadas en el camino desde un principio matemáticas punto de vista puede que tengas que seguir la corriente.)_

Answer 2

Creo que aquí estás asumiendo implícitamente que el principio de inducción es equivalente al principio de buen orden. A menos que ya hayas demostrado este resultado, no puedes apelar a ese tipo de razonamiento.