Integral de la $\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$

Question

Estoy tratando de encontrar la siguiente integral indefinida: $$ \int \frac{2x dx}{\sqrt{1+x^2}} $$

Ya me he hecho a través de u-sustitución, sin embargo, me han preguntado a resolver con dos métodos.

Yo creo que puedo hacerlo por sustitución trigonométrica así, sin embargo no estoy seguro de cómo terminar.

Sé que puedo sustituir $x$ en la raíz cuadrada de $\tan\theta$ por el trig reglas de sustitución, pero todavía estoy un poco confundido por la $2x$ en el numerador. ¿Que ir a $2\tan\theta$? Y como iba a terminar esto?

Answer 1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\sqrt{1+x^{2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$$

a partir de la regla de la cadena. Así, se tiene :

$$ \int \frac{2x}{\sqrt{1+x^{2}}} \: dx = \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} 2\sqrt{1+x^{2}}$$

Answer 2

Su sustitución en el clavo!

$$\int\frac{2\tan\theta\sec^2\theta d\theta}{\sec\theta}$$

Ahora acabar con ella!

Answer 3

Usted presumiblemente hizo el evidente la sustitución de $u=1+x^2$, y rápidamente consiguió la integral. Probablemente me habría deje $u^2=1+x^2$, lo que hace que la integración aún más trivial, pero eso es porque no me gusta que las raíces cuadradas de un montón.

Estas son las formas razonables para hacer la integración. (O por el contrario uno puede escribir la respuesta sin ningún tipo de "pasos".) Su problema pide irrazonable maneras. Pero podría no ser demasiado irrazonable irrazonable.

La sustitución trigonométrica $x=\tan t$ ha sido mencionado en otros lugares. Se trata de una norma de primer año de cálculo de la respuesta cuando uno ve $\sqrt{1+x^2}$.

Para un poco de variedad, para hacer la sustitución de $x=\sinh t$. Luego terminamos queriendo $$\int \frac{2\sinh t \cosh t}{\cosh t}\,dt,$$ es decir, la integral de $2\sinh t$. Ahora es fácil. Sólo mencionar que debido a que en el primer año de cursos de análisis matemático de las funciones hiperbólicas son a menudo injustamente olvidadas.

Answer 4

La presunción de que la inicial $u$ de sustitución fue de $u = 1+ x^2 \implies du =2x\,dx$ (que por supuesto, es una elección natural!

Luego de un segundo método de integración: en efecto, mediante sustitución trigonométrica es una buena opción.

Poner $x = \tan\theta$; luego tenemos también a cuenta de $\,dx$: $\;\;\,dx = \sec^2\theta\,d\theta$, y $2x = 2\tan\theta$.

Ahora, sustituir y simplificar!

$$\begin{align} \int \frac{2x\,dx}{\sqrt{1+x^2}} & = \int \frac{(2\tan\theta)\,(\sec^2\theta\,d\theta)}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} \\ \\ & = 2\int \frac{\tan\theta\,\sec^2\theta\,d\theta}{\sqrt{\sec^2\theta}} \\ \\& = 2 \int\frac{\tan\theta\sec^2\theta \,d\theta}{\sec\theta} \\ \\ &= 2\int\tan\theta\sec\theta \,d\theta\tag{%#%#%}\end{align}$$

Ahora, cabe recordar que la $\dagger$

Así que esto nos da $\dfrac{d}{dx}\left(\sec \theta\right) = \tan\theta\cdot \sec\theta$$

(Nota: también se puede "convertir" $$ 2\int\tan\theta\sec\theta \,d\theta = 2\sec\theta + C = \frac 2{\cos\theta} + C$ a $(\dagger)$$$2 \int \dfrac{\sin\theta\,d\theta}{\cos^2 \theta}$$ which, to integrate, we have $$ que producen el mismo resultado que hemos obtenido anteriormente.

Quizás la parte más difícil aquí es recordar a "volver sustituto": dado $2 \int \dfrac{\sin\theta\,d\theta}{\cos^2 \theta} = 2\int -\frac{d}{d\theta}(-\cos\theta)\left(\cos^{-2}\right)\,d\theta = \dfrac{1}{\cos \theta} + C = 2\sec\theta + C$

Answer 5

deje $u=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} , dv =2x dx$ $v=x^2+1, du= -\frac{1}{2}(2x)(1+x^2)^{-\frac32}$

$$\int \frac{2x dx}{\sqrt{1+x^2}}=(x^2+1)\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\int(x^2+1)\frac{x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}dx$$

Simplificando se obtiene

$$\int \frac{2x dx}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\int \frac{2x dx}{\sqrt{1+x^2}}$$