He visto algunas pruebas sobre el teorema de que el anillo de enteros es un finitely generado por $\mathbb{Z}$-módulo, pero pensé que se me ocurrió una manera más sencilla prueba. Sin embargo, creo que hay alguna laguna en el argumento porque no veo este argumento de ser presentada en cualquier lugar.
Deje $K$ por un número de campo (es decir, finito extensión de $\mathbb{Q}$)$[K:\mathbb{Q} ] = n$. El anillo de los enteros $O_K$ es la integral de cierre de $\mathbb{Z}$$K$. Podemos definir un mapa de $O_K \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} \to K$ donde definimos $\alpha \otimes q \mapsto \alpha q$ (y se extienden de forma lineal). En mi clase, vi que este es un isomorfismo de $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales, por lo que creo que no hay nada de malo con esa afirmación.
De todos modos mi clase dejado este punto para demostrar el teorema con el uso de algunos de seguimiento, etc, pero pensé que el siguiente razonamiento debería funcionar. En la búsqueda de la contradicción, supongamos $O_K$ no es finitely generado más de $\mathbb{Z}$. A continuación, voy a encontrar a $\alpha_1,...,\alpha_{n+1} \in O_K$ de tal manera que se $\mathbb{Z}$independiente. Deje $M = \mathbb{Z} \alpha_1 + ... + \mathbb{Z}\alpha_{n+1}$. A continuación,$M \subset O_K$$M \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} \hookrightarrow K$. Pero $M \simeq \mathbb{Z}^{n+1}$$M \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} \simeq \mathbb{Q} ^ {n+1}$. Así, la inyectividad es una contradicción.
¿Hay algo malo con la anterior prueba?
