Probar la secuencia no es convergente en un espacio métrico completo

Question

Estoy mirando algunos análisis previo de los exámenes y me he encontrado con esta pregunta:

Consideremos el conjunto a $\mathbb{R}$ de los números reales y la métrica de la función se define como:

$$d(x, y) = \begin{cases} 1 ~ \text{if} ~ x \ne y \\ 0 ~ \text{if} ~ x = y \end{casos}$$

1. Es la secuencia de las $(x_n)_{n = 1}^\infty$ definido por $x_n = \frac{1}{n}$ convergentes en este espacio métrico?

2. Es este espacio métrico completo?

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Para la parte 1:

Suponga que $(x_n)_{n = 1}^\infty$ es convergente a un real $a$. A continuación, para cada $\epsilon > 0$, existe un $N \in \mathbb{N}$ tal forma que:

$$d(x_n, a) < \epsilon ~ ~ \text{for all} ~ ~ n \geq N$$

Deje $\epsilon = \frac{1}{2}$. A continuación,$d(x_n, a) < \frac{1}{2} ~ ~ \implies ~ ~ x_n = a ~ ~ \implies ~ ~ a = \frac{1}{n} ~ ~ \text{for all} ~ ~ n \geq N$. Esto es una contradicción, por lo $(x_n)_{n = 1}^\infty$ no convergen en este espacio métrico.

Para la parte 2:

Un espacio métrico es completo si cada secuencia de Cauchy es convergente. Una secuencia de Cauchy es una secuencia $(x_n)_{n = 1}^\infty$ tal que para cada a $\epsilon > 0$, existe un $N \in \mathbb{N}$ tal forma que:

$$d(x_n, x_m) < \epsilon ~ ~ \text{for all} ~ ~ n, m \geq N$$

La reutilización de la parte 1 del enfoque, dejamos $\epsilon = \frac{1}{2}$. Entonces si $(x_n)_{n = 1}^\infty$ es una secuencia de Cauchy, se debe seguir ese $x_n = x_m$ todos los $n, m \geq N$. Así que la secuencia es constante para $n \geq N$, y, como tal, trivialmente converge.

Hemos demostrado que si $(x_n)_{n = 1}^\infty$ es una secuencia de Cauchy en este espacio métrico, entonces debe ser convergente. Por lo tanto, este espacio métrico es completa.

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Son estas pruebas válidas? En particular, es el uso de la contradicción de sonido en la parte 1 y no en el razonamiento que sigue en la parte 2? He aprendido a tener cuidado con el análisis de los argumentos, así que es posible que alguien de verificación sobre mi trabajo?

Estoy seguro acerca de la parte 1, pero hay algo acerca de la parte 2 que me confunde. La integridad de la propiedad sólo se aplica a las secuencias de Cauchy, por lo que si mis resultados son correctos, a continuación, la secuencia en la parte 1 no es de Cauchy. Así que hice un error, o fue $d$ cuidadosamente elegido para que desafían la intuición?

Answer 1

Todos ustedes son de la derecha, la métrica $d$ hace que su espacio métrico ser discretos espacio topológico. En este último, la convergencia de las $(x_n)$ significa que existe $a$ tal que $x_n = a$ todos los $n$ lo suficientemente grande. Se perfectamente lo mostró el uso de $\epsilon = \frac12<1$. Como resultado, la secuencia de $\frac1n$ no converge.

Cualquier secuencia de Cauchy, por consiguiente, sólo tiene términos constantes después de algunos $n$ debido a la condición de Cauchy $|x_n -x_m|<\epsilon$ todos los $m,n$ lo suficientemente grande. Como resultado, se puede obtener una secuencia deseada con sólo constantes en la cola, por lo que claramente converge gracias al primer argumento. Y sin duda, la secuencia de $\frac1n$ no es de Cauchy w.r.t. la métrica $d$.

Answer 2

Tienes razón. De hecho, este espacio es un espacio discreto, es decir, $\Bbb R$ con una topología discreta. Cada secuencia tomando e infinito número de valores en un espacio discreto no es convergente y cada espacio discreto es un espacio métrico completo.