Aplicaciones de Elliott ' Teorema de s sobre la clasificación de las álgebras de AF

Question

AF-álgebra es una $C^* $-álgebra que es el inductivo límite de una secuencia inductiva de finito-dimensional $C^*$-álgebras.

Elliott teorema relativo a la clasificación de la FA-álgebras dice que dos AF-álgebras $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{B}$ son isomorfos como $C^* $-álgebras si y sólo si $(K_0(\mathfrak{A}),K_0(\mathfrak{A})^+,\Gamma(\mathfrak{A}))$ $(K_0(\mathfrak{B}),K_0(\mathfrak{B})^+,\Gamma(\mathfrak{B}))$ son isomorfos como escala ordenada de los grupos, donde $\Gamma(\mathfrak{A})$ denota la dimensión de la gama, es decir, los elementos de $K_0(\mathfrak{A})^+$ da como clases de equivalencia de proyecciones en $\mathfrak{A}$.

Aunque este resultado es interesante y hermoso en su propio, me gustaría saber si hay aplicaciones interesantes que pueden ser entendidas por y podría ser interesante para los estudiantes que están familiarizados con los básicos de la K-teoría de $C^* $-álgebras. Por supuesto, yo también estoy interesado en aplicaciones más avanzadas, o en situaciones donde Elliott teorema proporciona ideas que son difíciles de obtener de otro modo.

Answer 1

Este es un ejemplo de una aplicación, pero, entre muchos otros que no sean obvias ordenó a los grupos que surgen de la AF álgebras es el conjunto de polinomios con coeficientes enteros, con la positividad de lo que significa tener distinto de cero valores positivos en la unidad de intervalo (a menos que el polinomio es el polinomio cero). Como se muestra por Renault, este ordenó grupo surge a partir de Pascales triángulo, interpretado como un diagrama de Bratteli! (Como una aplicación de esto, es posible obtener la solución a la clásica Hausdorff momento problema).

Otro ejemplo interesante es el subgrupo del plano que consta de los elementos racionales de coordenadas, con positividad determinado por el interior de un cono en el plano, las líneas del límite de los cuales no tienen necesariamente racional de la pendiente. Cuando el cono es un medio plano, de las que dispuso el grupo está estrechamente relacionada con la continuación de la fracción de expansión de la pendiente de la (única) de la línea límite.