la prueba de que la función es constante

Question

Estoy molesto por una simple problema de cálculo (me disculpo de antemano si no estoy con el uso adecuado de términos en inglés, no me tome el curso en inglés, ni soy un hablante nativo):

Deje $f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ ser una función que es continua en a $0$ y satisface $f(x)=f(2x)\,\forall x\in\mathbb R$.

Mi pregunta es ¿cómo puedo demostrar formalmente que por cada $x<0$ $f(x)=c_1$, y para todos $x>0$ $f(x)=c_2$, donde $c_1,c_2\in \mathbb R$? Después de probar estas dos declaraciones (o al menos uno de ellos WLOG) sería muy fácil demostrar que $f(0)=c_1=c_2$ por la definición de continuidad de $f(0)$ e lo $f(x)$ es constante. Estas dos declaraciones son tan obvio que no puedo pensar de manera formal de la prueba, así sin "hacer trampa". Gracias de antemano!

Answer 1

La identidad puede ser escrito $$ f(x)=f\left(\frac{1}{2}x\right) $$ y se puede demostrar por inducción que $$ f(x)=f\left(\frac{1}{2^n}x\right) $$ para cada entero $n\ge0$. Pero $$ \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{2^n}x\right)=\dots $$