Cómo probar la igualdad de $a_n = n^2$ por cada $n$ si $n \in \mathbb N$?

Question

Dada la secuencia de $a_1, a_2, ...$ donde $a_1=1, a_2 = 4, a_3 = 9$ e al $n > 3, a_n = a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-3} + 2(2n-3)$. Demostrar que la igualdad de $a_n = n^2$ es válida para todos los $n$si $n \in \mathbb N$

Estoy bastante seguro de que tengo que usar una fuerte inducción de aquí, pero no estoy seguro de cómo resolverlo. Alguna idea?

Answer 1

El segundo signo de menos en la pregunta debería ser un plus. $a_n = a_{n-1}-a_{n-2}\color{red}{+}a_{n-3} + 2(2n-3)$, entonces es muy fácil demostrar mediante el uso fuerte de inducción.

Answer 2

Guía:

• Compruebe que $a_n=n^2$ mantiene para $n \in \{ 1,2,3\}$.

• Simplificar $a_{n-1}-a_{n-2}\color{red}{+}a_{n-3}+2(2n-3)=(n-1)^2-(n-2)^2\color{red}{+}(n-3)^2+2(2n-3)$ y demostrar que es igual a $n^2$.

Crédito:

Un agradecimiento especial a Rene Schipperus por señalar el error en la pregunta, y Donald Splutterwit de fijación de error.