Supongamos $f$ es continua en R tal que $\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{h} = 0$ todos los $x\in\mathbb R$. Demostrar que $f$ es constante.

Question

Estoy teniendo un poco de problemas con el problema del título de Davidson y Donsig del Análisis Real. Voy a estado de nuevo:

Supongamos $f$ es continua en a $\mathbb{R}$ tal que $$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{h} = 0\ \forall x\in\mathbb{R}.$$ Prove that $f$ es constante.

Se proporcionan los siguientes sugerencia que he estado tratando de aplicar.

SUGERENCIA: Fix $\epsilon > 0$. Para cada una de las $x$, encontramos un $\delta > 0$, de modo que $|f(x+h)-f(x-h)| \leq \epsilon h$$0\leq h \leq \delta$. Deje $\Delta$ ser el supremum de todos los $\delta$. Mostrar que $\Delta = \infty$.

He aquí cómo he empezado. Fix $\epsilon > 0,\ x\in\mathbb{R}$. Por la definición del límite, $$(\forall x\in\mathbb{R})(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(0<|h|\leq\delta\implies\Bigg|\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}\Bigg|<\epsilon).$$

Por lo tanto, de inmediato obtener un $\delta>0$ nuestro $x,\epsilon$ tal que $$|f(x+h)-f(x-h)|\leq\epsilon h,\ 0\leq h \leq\delta.$$

No sé cómo continuar a partir de aquí. Ni siquiera estoy seguro de que conceptualmente cómo mostrando que $\Delta=\infty$ nos daría ese $f$ es constante. Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

No entiendo la pista en su libro. Pero aquí es una forma alternativa de hacerlo.

El límite $$SDf(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},$$ if exists, is called the symmetric derivative of $f$ at $x$. En Brian Thomson Simétrica Propiedades de las Funciones Reales, se muestra que

Teorema. Una función continua es necesariamente creciente en el intervalo en el que su derivada simétrica existe y es positiva.

Como corolario se puede deducir que las funciones continuas con cero simétrica derivados son constantes:

Para cualquier $\epsilon>0$, $SD(f(x))=0$ significa que $f(x)+\epsilon x$ tiene una positiva derivada simétrica y por lo tanto, por el teorema, se debe aumentar; de manera similar $-f(x)+\epsilon x$ tiene un positivo simétrica de derivados, y deben también estar aumentando. Como $\epsilon>0$ es arbitrario $f$ debe ser constante como sea necesario.

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Aquí está la prueba del teorema de Thomson del libro:

Answer 2

Vamos a mostrar que el conjunto de puntos donde $f$ es diferenciable es densa. Deje $(a,b)$ un intervalo abierto, ya que $f$ es continua en a $[a,b]$, que alcanza su máxima en $x_0$, supongamos que $x_0\in (a,b)$

$\frac{f(x_0+h)-f(x)}{h}\geq 0$ $\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}\geq 0$ , esto implica que $\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}\geq \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0$, simce $lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=0$ $f$ es derivable en a $x_0$, si el máximo es $f(a)$ o $f(b)$, consideramos que todos los intervalos de $(c,d)\subset (a,b)$ y si para cada a $(c,d)\subset (a,b)$ el máximo es de $f(c)$ o $f(d)$, $f$ es monotono, podemos deducir que el conjunto de puntos donde $f$ es diferenciable en a $(a,b)$ es densa.

Monotono+continua pero no diferenciable

Supongamos $f$ es diferenciable en a $x$

$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{h} = 0=2f'(x)\ \forall x\in\mathbb{R}.$$

desde $\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}=$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$+ $\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}$

por lo $f'(x)=0$ implica que el $f$ es constante.

Usos de $\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

Answer 3

Considere la posibilidad de un pacto intervalo de $[a,b]$

Fix $\epsilon>0$ Por cada $x \in [a,b]$,$\delta(x)$, de tal manera que $|f(x+h)-f(x-h)|\le h\epsilon$ siempre $|h|<\delta(x)$

Considerar el abrir de los intervalos de $\left\{I_x=(x-\delta(x),x+\delta(x)) \right\}_{x\in[a,b]}$, they clearly cover $[a,b]$ which is compact, hence there exists a finite sub-cover$\left\{I_{x_n}\right\}_{n=1}^{N}$ for $[a,b]$

Suponga $x_1<x_2<...<x_N$ y elegir una secuencia de puntos de $y_n$ tal que $y_n$ se encuentra en la intersección de las $I_{x_n}$$I_{x_{n+1}}$, de modo que

$|f(y_{n+1})-f(y_n)| <\delta(x_n)\epsilon$,

y $|f(y_{n+2})-f(y_{n+1})| <\delta(x_{n+1})\epsilon$

Vamos $y_0= a$ $y_{N+1}=b$

Ahora

$|F(b)-F(a)|= \left|\sum_{i=0}^{N}f(y_{i+1})-f(y_i)\right|\le\sum_{i=0}^{N}\left|f(y_{i+1})-f(y_i)\right|\le\sum_{i=0}^{N}\delta(x_i)\epsilon\le(b-a)\epsilon$

La última desigualdad se cumple ya que podemos elegir cualquier $\eta(x)<\delta(x)$ y la primera desigualdad se siguen manteniendo. Por último, desde $\epsilon$ es arbitrario $|f(b)-f(a)|=0$, por lo tanto $f(b)=f(a)$, dejando $b$ variar, llegamos a la conclusión de que $f(x)$ es constante.

Nota: cualquier persona es bienvenida para editar la respuesta para obtener un mejor formato y possiby una mejor manera de escribir la prueba