Podemos probar que todas las ecuaciones puede ser resuelto a través de los números complejos?

Question

$x^2+1=0$ no puede ser resuelto a través de los números reales.

Debido a esto, ampliamos los números reales a los números complejos.Podemos solucionar $x^2+1=0$ $x^2+x+1=0$ ecuaciones después de definir los números complejos.

Me pregunto si podemos resolver todas las ecuaciones ( sólo incluye las funciones analíticas.) a través de los números complejos o no? Si es Que sí, ¿cómo podemos demostrar que dicen?

Por ejemplo: Puede $z^{100}-5z+2=e^{i.\operatorname{erf}(z)}$ ser resuelto a través de los números complejos?

donde $\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2}\,\mathrm dt$

Nota: Este es solo un ejemplo, no estoy preguntando la solución para un ejemplo especial, me pregunto si un general de la prueba es posible o no.

Update: he de mencionar las funciones analíticas. $\bar z$ o $\Re{(z)}$ no son funciones analíticas.

Gracias por las respuestas.

Answer 1

Todas las ecuaciones polinómicas con los no-constante de polinomios con coeficientes complejos se pueden resolver con números complejos. Este es el teorema fundamental del álgebra. Enlace aquí.

Todas las ecuaciones en general no se puede. Por ejemplo, $z\bar z = -1$ no tiene soluciones en $\mathbb C$.

En general, si usted se está preguntando si cada ecuación de $f(z) = 0$ tiene una solución en $\mathbb C$, se están preguntando si cada función $f:\mathbb C\to\mathbb C$ $0$ en su gama (codominio). Este es, por supuesto, no es cierto. Hay muchas funciones que no tienen $0$ en su codominio, de los cuales, $z\bar z+1$ es sólo uno. Existen mucho más feo funciones con esta propiedad, por ejemplo $$f(z)=\begin{cases}z&\text{ if } z\neq 0\\1&\text{ if } z=0\end{cases}.$$

Incluso todas las funciones analíticas que no contengan $0$ en su codominio. Por ejemplo, $f(z) = e^z$ no golpea $0$ en cualquier punto, lo que significa $e^z=0$ no tiene solución. Sin embargo, de alguna manera, las funciones analíticas son la manera correcta de ir. Porque de Picard a poco teorema también se menciona en los comentarios (Enlace) sabes que si $f$ es completo (analítico y en todas partes definidas) y no constante, entonces $f(z) = w$ tiene al menos una solución para todos los valores de $w$, excepto tal vez de uno. Por ejemplo, $e^z=w$ tiene una solución (infinitamente muchos de ellos) para todos los valores de $w$ con la excepción de $0$.

Edit: El hecho de que $f$ no es constante, es válida la demanda a hacer, por supuesto, ya que si una función es constante, la ecuación de $f(z)=0$ se traduce a $C=0$ para el valor de la constante $C$$f$, y tales ecuaciones son de poco interés.

Answer 2

La idea de "todas las ecuaciones" es algo nublado: ¿cuáles son admisibles las ecuaciones en el contexto de esta pregunta?

Considere la ecuación $$f(z):=\sqrt{4+z^2}- \log z=0\ .$$ Aquí $f$ no está definida de forma única en todos los de ${\mathbb C}$. Sería difícil hacer afirmaciones generales acerca de la existencia de soluciones si tales ecuaciones son admitidos.

Sin embargo, según Picard del Teorema podemos decir lo siguiente: Si $f:\ {\mathbb C}\to{\mathbb C}$ es un no constante toda la analítica de la función, entonces la ecuación $$f(z)=c$$ tiene al menos una solución para cada $c\in{\mathbb C}$, con la excepción de que en la mayoría de uno $\>c\in{\mathbb C}$. Como un ejemplo, considere la función exponencial $f(z):=e^z$, que no tome en cuenta el valor de $c=0$.