La máxima cantidad de divisores del número de $n^m+m^n$

Question

Nos da algo de enteros positivos $m$. ¿Qué cantidad máxima de distintas primer divisores de un número $n^m+m^n$ puede tener, donde $n\in\mathbb{Z}_+$?

Editar:

Como se señaló en los comentarios, no hay ninguna razón para pensar que el máximo de existe. En ese caso, la cuestión es la siguiente: ¿por qué para todos los enteros positivos $m$ $x$ existe un entero positivo $n$ de manera tal que el número de $n^m+m^n$ tiene más de $x$ distintos primer divisores?

Answer 1

Deje $\omega(t)$ ser el número de los distintos primer divisores de $t$ mayor que $4$ . Vamos a demostrar el siguiente teorema en el que se formaliza lo que quieres si no me equivoco.

Teorema : para cualquier $m\geq 2,x\geq 2$ existe un entero $n$ tal forma que: $$\omega(m^n+n^m)\geq x$$

Primero de todo, vamos a demostrar los siguientes dos lemas:

Lema 1: Para cada $m\geq 2,k\geq 1$ existe un entero $a\geq 1$ tal que $$\omega({m^a-ma})\geq k $$

Prueba: (herramientas Principales: el teorema de Fermat ) deje $p_1,....,p_k>m$ $k$ de los números primos mayores que $m$. y deje $a=1+\text{lcm}(p_1-1,p_2-1,\dots,p_k-1,p_1\cdots p_k)$ podemos ver que para cada $i$ tenemos: $$m^{a-1}-a\equiv 0\mod p_i $$ utilizando el teorema de Fermat. como podemos ver $\omega(m^a-ma)\geq k$

Lema 2: Para cada $m\geq 2,n\geq 1$ enteros positivos tales que a $6\not|n $ tenemos: $$\omega(1+m^{n})\geq {d(n)} $$

Prueba : (herramientas Principales: Zsigmondy del teorema) Una variante de Zsigmondy del teorema establece que para todos los enteros positivos $a>b>0,n$ tal que $\gcd(a,b)=1$ $n$ impar, entonces el número de $a^n + b^n$ tiene al menos un primitivo divisor primo, con la excepción de $n=3,a=2,b=1$. Una primitiva divisor primo significa un divisor primo que no divide $a^k+b^k$ todos los $k< n$ . Tomemos $a=m,b=1$ $d$ es un divisor de a $n$ esto significa que existe una primitiva divisor primo de $m^d+1$ denotemos por $p_d$ el más pequeño de tales primitivo divisor primo.

Ahora podemos afirmar que la $(p_d)_{d|n}$ es una sucesión de números primos dividiendo $a^n+b^n$ ($a^d+b^d$ divide $a^n+b^n$ por cada $d|n$, $n$ es extraño, por supuesto). Por lo tanto podemos concluir que: $$\omega(1+m^{n})\geq {d(n)} $$

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Prueba del teorema: La idea de la prueba es tomar $n=m^a$ e las $a$ tal que $\omega(1+m^{m^a-ma})\geq x-\omega(m) $ porque: $$n^m+m^n=m^{am}(1+m^{m^a-am}) \tag{*} $$ Tomemos $k=\lfloor \log_2x\rfloor+1 $,utilizando el lema $1$ existe un entero $a$ tal que $\omega({m^a-am})\geq k$, así que podemos escribir $m^a-am=p_1\cdots p_k \alpha$ donde $p_1,\cdots ,p_k>4$ son primos, utilizando el lema $2$ $(n,m)$ es igual a $(p_1\cdots p_k,m^\alpha)$ podemos concluir que $$\omega(1+m^{m^a-am})\geq 2^k$$ Esto, por supuesto, el uso de $(*)$ implica que $$\omega(m^n+n^m)\geq 2^k\geq x$$

Así que hemos demostrado el teorema, el cual puede ser formulado de otra manera diciendo que para cada entero positivo $m\geq 1$ : $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\omega(n^m+m^n)=+\infty$