Ejemplo de anillo finito con un ideal no principal

Question

Me gustaría tener un ejemplo (o una clase de ejemplos) de un finito anillo (con unidad, no necesariamente conmutativo) que no es un director ideal anillo (si es posible un ejemplo de un anillo local y de un no locales anillo).

Sé que finito anillos de la cadena local principal ideal de los anillos. Así, el ejemplo que estoy buscando no puede ser un anillo de la cadena (pero puede ser local o no). Estoy totalmente familiarizado con el anillo de la teoría, sino una respuesta a esta pregunta me puede ayudar mucho en un problema de geometría finita. Por lo que cualquier ayuda es bienvenida!

Answer 1

Un ejemplo sencillo sería el anillo $$\mathbb{F}_2[x,y]/(x^2,xy,y^2)=\mathbb{F}_2[\tilde{x},\tilde{y}]=\{0,\,1,\,\tilde{x},\,\tilde{y},\,1+\tilde{x},\,1+\tilde{y},\,\tilde{x}+\tilde{y},\,1+\tilde{x}+\tilde{y}\}$$ donde el ideal $$I=(\tilde{x},\tilde{y})=\{0,\tilde{x},\tilde{y},\tilde{x}+\tilde{y}\}$$ no puede ser generado por un solo elemento.