Problema 8.7 De Van der Vaart es Asintótica Estadísticas:
Dada una muestra de tamaño $n$ a partir de la distribución uniforme en $[0,\theta]$, el máximo de $X_{(n)}$ de las observaciones está sesgado a la baja. Debido a $\text{E}[\theta-X_{(n)}] = \text{E}[X_{(1)}]$, el sesgo puede ser eliminado mediante la adición de un mínimo de las observaciones. Es $X_{(1)} + X_{(n)}$ un buen estimador para $\theta$ a partir de un asintótica punto de vista?
MI INTENTO:
El capítulo está en la eficiencia de los estimadores (por ejemplo, el teorema de convolución, la eficiencia relativa), así que mi primer pensamiento fue para calcular la varianza asintótica de $X_{(1)} + X_{(n)}$. De los resultados anteriores en la clase he a $$\text{Pr}\left\{ nX_{(1)} < x\right\} \to 1 - e^{-x/\theta}\qquad \text{Pr}\left\{ -n(X_{(n)}-\theta) < x\right\} \to 1-e^{-x/\theta}$$ que es, el asintótica distribuciones marginales de la mínima y la máxima es de distribuciones exponenciales. Sin embargo, para obtener la distribución asintótica de la suma que tendría la articulación distribución asintótica. No estoy seguro de cómo proceder.
INTENTO 2
Basado en los enlaces de esta pregunta, si $X_{(1)}$ $X_{(n)}$ son asintóticamente independientes, entonces la varianza asintótica de $X_{(1)} + X_{(n)}$ simplemente $$\theta^2+\theta^2 + 2(0) = 2\theta^2$$ which is larger than the variance of the MLE ($X_{(n)}$). Pero el MLE es sesgada. Además, no he encontrado una forma de mostrar que el mínimo y el máximo son asintóticamente independiente.
Relacionado: sin respuesta satisfactoria distribución Asintótica uniforme de las estadísticas de orden de
También algo relacionado con el famoso tanque alemán problema, sino que es para la distribución uniforme discreta.
