Julia Conjunto de polinomios

Question

Si $f$ es un polinomio y $z \in\mathbb {C}$ muestran que o bien $f^n(z) \rightarrow\infty $ o $\{f^n(z) : n \geq 1\}$ es un conjunto delimitado.

Aquí, $f^2(z)=f(f(z))$ y $f^n(z)=f(f^{n-1}(z))$ para $n \geq 2$

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Tenía una prueba estructurada de la siguiente manera:

1) Supongamos $\{f^n(z) : n \geq 1\}$ no tiene límites. Entonces existe una subsecuente $(n_k)$ de tal manera que $f^{n_k}(z) \rightarrow\infty $ .

2) Estamos acabados si podemos demostrar que $|f^{k}(z)|$ es monótono cada vez.

Pero el problema es 2) es realmente tedioso de verificar. Me pregunto si hay una forma más bonita de hacerlo.

Answer 1

No trataré el caso en el que $f$ es de grado como máximo 1. Así que asume que $f$ es un polinomio de grado al menos 2.

Luego $|f(z)|$ crece más rápido que $|z|$ como $|z| \to + \infty $ . Esto significa que hay algunos $M>0$ de tal manera que para todos $z \in\mathbb {C}$ con $|z|>M$ tenemos $$|f(z)| \geq |z|.$$ (Intente hacer esto con precisión si tiene dudas.) Podemos concluir que tan pronto como la secuencia llegue más lejos que $M$ desde el origen, sólo se alejará aún más del origen. Esto prueba el resultado.

Observación. Hemos demostrado que si $\{f^n(z)\}$ no tiene límites, entonces $|f^k(z)|$ es monótono con el tiempo. Tenga en cuenta que podría fortalecer el argumento anterior para mostrar que si $\{f^n(z)\}$ no tiene límites, entonces $|f^k(z)|$ terminará por crecer al menos de manera exponencial (por ejemplo, tome $M$ lo suficientemente grande para asegurarse de que $|f(z)| \geq 2|z|$ ).

Answer 2

Aquí hay una prueba alternativa. Estoy seguro de que no es la prueba que se espera en una clase de primaria, ya que las herramientas que utiliza son un poco más pesadas. Tiene la ventaja, sin embargo, de introducir la idea de la conjugación y cómo se puede utilizar para tratar el punto en $ \infty $ - un paso importante para extender la dinámica polinómica a la dinámica de las funciones racionales en la esfera de Riemann.

La idea es reemplazar el polinomio $f(z)$ con la función racional $F(z)=1/f(1/z)$ y estudiar la órbita de $F$ . Resulta que $F$ tiene un punto fijo súper atractivo en el cero y la afirmación sobre las órbitas de $f$ siendo atraído por $ \infty $ puede ser refundido en términos de órbitas de $F$ siendo atraído por el cero.

Más precisamente, que $f$ ser un polinomio complejo de grado al menos dos y definir

$$F(z) = \left\ { \begin {array}{ll} 1/f(1/z) & z \neq 0 \\ 0 & z=0. \end {array} \right. $$

Esencialmente, hemos simplemente conjugado por la función recíproca y llenado la discontinuidad removible resultante en el origen. $F$ es, de hecho, diferenciable en el origen con $F'(0)=0$ ya que

$$F'(0)= \lim_ {z \rightarrow 0} \frac {F(z)-F(0)}{z-0} = \lim_ {z \rightarrow 0} \frac {1}{zf(1/z)}=0.$$

Esa última igualdad es verdadera porque $f$ tiene un grado al menos dos y, por lo tanto, $f(1/z) \rightarrow \infty $ más rápido que $z \rightarrow 0$ .

A continuación, observe que

$$F(F(z)) = 1/f (1/(1/f(1/z))) = 1/f(f(1/z))$$

y, más generalmente,

$$F^n(z)=1/f^n(1/z).$$

En sustitución de $z$ para $1/z$ tenemos

$$F^n(1/z)=1/f^n(z).$$

Como resultado, una órbita de $f$ genera una órbita de $F$ tomando los recíprocos de los términos en la órbita y viceversa. Así, una órbita en la vecindad de $ \infty $ para $f$ puede ser tratado como una órbita en el vecindario de $0$ para $F$ .

Ahora podemos establecer el resultado usando el hecho de que el cero es un punto fijo atractivo para $F$ porque entonces hay un $r>0$ de tal manera que $|z|<r$ implica que $z$ converge a cero bajo la iteración de $F$ . Por lo tanto, si $|z|>1/r$ Entonces $z$ converge en $ \infty $ bajo la iteración de $f$ .

Tenga en cuenta que el número $1/r$ se convierte en el límite crucial de la pregunta original.