Para mostrar $\mathrm{ker} f=\{0\}$ lineal para la asignación de $f$.

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial sobre $F$ con base $\{e_1,e_2,...e_n\}$. Deje $F$ ser un lineal de asignación de $V$ $V$tal que $F(e_1) =e_2,...F(e_n)=e_1$. Mostrar que $\mathrm{ker} f=\{0\}$. También encontrará $f^{-1}$.

Yo sólo sé que $\mathrm{ker} f=\{0\}$ fib $f$ es de 1-1.

Por lo tanto, es suficiente para mostrar que la definición básica para el 1-1?

La inversa de la asignación se define como $f^{-1}(e_1) =e_n, f^{-1}(e_2)=e_1,...$ Estoy en lo cierto?

Answer 1

Si $x = x_1 e_1 + \cdots x_1 e_n \in \mathsf{ker}(f)$

$0 = f(x) = x_1f(e_1) + \cdots +x_{n-1}f(x_{n-1})+ x_nf(e_n) $

$= x_1e_2 + \cdots + x_{n-1}e_{n} + x_ne_1 $

$= x_ne_1 + x_1 e_2 + \cdots + x_{n-1}e_n$

$\Longrightarrow \quad x_n =x_1 = \cdots =x_{n-1} = 0 \quad \Longrightarrow \quad x=0$.

Debido a que el dominio y el codominio de la inyectiva transformación de $f$ tienen igual dimensión, $f$ es un isomorfismo.

También, me gusta mucho los consejos que @Adren:

Una función de $f:A \to B$ entre los dos conjuntos es inyectiva si y sólo si tiene una izquierda inversa con respecto a su composición; es decir, si y sólo si existe una función de $g:B \to A$ tal que $g \circ f = \mathrm{Id}_A$. Del mismo modo, una función de $f:A \to B$ es surjective si y sólo si tiene un derecho inversa, o más bien, existe una función de $g:B \to A$ tal que $f \circ g = \mathrm{Id}_{B}$.

En tu ejemplo, $A,B = V$, y la izquierda/derecha inverso $g$ usted debe buscar en la es $g = f \circ \stackrel{n-1}{\cdots}\circ f$, desde

$g \circ f = f \circ g = f \circ \stackrel{n}{\cdots} \circ f = \mathrm{Id}_{V}$

Por supuesto, usted debe demostrar por qué el compuesto de $f$ sí $n$ veces le da el mapa de identidad (creo permutación de la base de los elementos).

Answer 2

Utilizando la clasificación de nulidad teorema es fácil probar que

si $V$ es de un número finito de dimensiones de espacio vectorial y $f\colon V\to V$ es lineal en el mapa, a continuación, $f$ es inyectiva (o 1-1) si y sólo si es surjective

Probar y verificar su mapa es surjective.

La función inversa es la correcta.

Answer 3

Recordemos que para finito dimensionales espacios vectoriales que tienen que $$ \dim V = \dim Im F + \dim \ker F, $$ la una por la definición de $F$ usted saber que $$ Im F \sp\{ e_1, e_2,..., e_n \}, $$ por lo tanto $\dim Im F= n$, por lo $\dim \ker F = 0$$\ker F = 0_v$.

Answer 4

Sugerencias :

• si $f,g:X\to X$ son aplicaciones que $f\circ g$ es inyectiva (que significa "uno a uno"), a continuación, $g$ es inyectiva.

• id $E$ es un espacio de dimensión finita y si $f\in\mathcal{L}(E)$ es inyectiva o surjective, a continuación, $f$ es un bijection.

• Tratar de entender lo que puede decirse acerca de la $F^n$ (lo que significa, por supuesto, $F\circ\cdots\circ F)$