Si $X\subset \mathbb P^{n}$ es una hipersuperficie suave (compleja), se puede calcular su característica topológica de Euler $\chi(X)$ tomando el grado de la $0$ -ciclo $c_{n-1}(T_X)\cap [X]$ .
Si $X$ es singular, no sé qué se puede decir. Suponiendo que se trata de un problema difícil (¡pero por favor, díganme si no lo es!), me interesa el siguiente caso particular: $$ X\subset \mathbb P^{n} \textrm{ is a degeneracy locus.} $$ Con esto me refiero a $X=V(\wedge^{n}A)$ es el lugar cero de un polinomio $\wedge^{n}A\in S=\mathbb C[x_0,\dots,x_{n}]$ que es el determinante de una matriz cuadrada $A\in M_{n-1}(S)$ . Creo que el lugar singular de $X$ es $V(\wedge^{n-1}A)$ el lugar de los puntos donde el rango de la matriz se convierte en $\leq n-2$ . Pero esto no me ayuda realmente. ¿Sabe usted cómo abordar este problema?
