Stokes Teorema De

Question

Deje $C$ ser el siguiente, vamos a $C$ ser la curva de intersección del cilindro $x^2 + y^2 = 1$ y la superficie dada $z = f(x,y)$, orientada en sentido antihorario alrededor del cilindro. El uso de Stokes teorema para calcular la integral de línea por primera conversión a una integral de superficie.

(a) $\int_C (y \, \mathrm{d}x + z \, \mathrm{d}y + x \, \mathrm{d}z),\quad z=x \cdot y$.

Estoy teniendo un problema al configurar el problema. Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Sólo para empezar, aquí los detalles para (un). Empezar por encontrar la curvatura del campo de vectores $\mathbf{F}=\langle y,z,x\rangle$. Usted obtener $$\nabla\times\mathbf{F}=\det\begin{pmatrix} \mathbf{i} &\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\y&z&x\end{pmatrix}=\langle0,-1,-1 \rangle$$ El Teorema de Stokes dice que la integral de línea de $\mathbf{F}$ $C$ es igual a la integral de superficie de $\nabla\times\mathbf{F}$ sobre cualquier superficie $S$ tener $C$ como límite (escrito $C=\partial S$). El más fácil de la superficie sería sólo la parte de la superficie de la $z=xy$ acostado en el interior del cilindro $x^2+y^2=1$. Llame a $S$ de esta superficie, y parametrizar en coordenadas polares por $\mathbf{S}(r,\theta)=\langle r\cos\theta, r\sin\theta, r^2\cos\theta\sin\theta\rangle$$r\in[0,1]$$\theta\in[0,2\pi)$. El $z$ componente de aquí viene del hecho de que $z=xy$, y en coordenadas polares $x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$.

A continuación, sólo tenemos que calcular $$\int\int_S\langle 0,-1,-1\rangle\cdot \mathbf{dS}=\int_0^{2\pi}\int_0^1\langle 0,-1,-1\rangle\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial r}\times\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial\theta}\right)\,dr\,d\theta$$ Pero tenemos $$\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial r}=\langle\cos\theta,\sin\theta,2r\cos\theta\sin\theta \rangle=\langle \cos\theta,\sin\theta,r\sin(2\theta)\rangle$$ y $$\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial \theta}=\langle -r\sin\theta, r\cos\theta, r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta) \rangle=r\langle-\cos\theta,\sin\theta,r\cos(2\theta)\rangle$$ Entonces $$\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial r}\times\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial\theta}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\cos\theta&\sin\theta&r\sin(2\theta)\\-r\sin\theta&r\cos\theta&r^2\cos(2\theta)\end{pmatrix}$$ El primer componente no importa, porque estamos salpican con $\langle0,-1,-1\rangle$, de todos modos. El segundo componente es $-r^2(\sin(2\theta)\sin\theta+\cos(2\theta)\cos\theta)$ y el tercer componente es sólo $r$. Se puede decir que esta es la orientación correcta debido a que el tercer componente es positiva y por lo tanto apunta hacia arriba en lugar de hacia abajo.

Tomando el producto escalar, nuestra integral se convierte en $$\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(r^2\sin(2\theta)\sin(\theta)+r^2\cos(2\theta)\cos\theta-r\right)\,dr\,d\theta$$ Hacer la integración con respecto a la $r$ tenemos $$\int_0^{2\pi}\left(\frac{1}{3}(\sin(2\theta)\sin\theta+\cos(2\theta)\cos\theta)-\frac{1}{2}\right)\,d\theta$$ Lo voy a dejar a usted para terminar, con la sugerencia de que $\sin(2\theta)\sin\theta+\cos(2\theta)\cos\theta$ simplifica muy bien si recuerda su suma/diferencia de las fórmulas.