¿El "2º teorema de isomorfismo" hold para espacios de Banach, cuando uno de los subespacios es finito-dimensional?

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach. Deje $Y, F \subseteq X$ ser subespacios con $Y$ cerrado y $F$ finito-dimensional. De ello se desprende que $F + Y$ es también un subespacio cerrado de $X$.

Pregunta: ¿hay un isomorfismo isométrico de finito-dimensional de los espacios de Banach entre el$\frac{F+Y}{Y}$$\frac{F}{F \cap Y}$?

Answer 1

No, o al menos la canónica bijection normalmente no es una isometría. Por ejemplo, supongamos $X=\mathbb{R}^2$ con la norma Euclídea, vamos a $F$ ser el lapso de $(1,1)$, y deje $Y$ ser el lapso de $(1,0)$. A continuación,$F\cap Y=0$, lo $\frac{F}{F\cap Y}=F$. Pero la canónica bijection envía el elemento $(1,1)\in F$ a la coset $(1,1)+Y=(0,1)+Y$$\frac{F+Y}{Y}$, e $\|(1,1)\|=\sqrt{2}$ pero $\|(0,1)+Y\|=1$.

(En este ejemplo, $\frac{F}{F\cap Y}$ $\frac{F+Y}{Y}$ pasan a ser isométricamente isomorfo, pero no por el natural mapa. Probablemente usted puede conseguir un ejemplo similar donde no son isométricamente isomorfo por cualquier mapa (por ejemplo, tomar un ejemplo similar donde el cociente espacios terminan siendo de 2 dimensiones y menos simétrica norma que la norma Euclídea), pero demostrando que el mapa no puede ser una isometría es, probablemente, una especie de desorden.)

Sin embargo, la canónica bijection siempre es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos. De hecho, la canónica bijection es la norma decreciente, como un mapa de $\frac{F}{F\cap Y}\to\frac{F+Y}{Y}$, ya que dado $f\in F$, la distancia de $f$ $F\cap Y$no puede ser menor que la distancia de$f$$Y$. Así que la canónica bijection es un delimitada lineal bijection $\frac{F}{F\cap Y}\to\frac{F+Y}{Y}$, que es por lo tanto un isomorfismo topológico por la asignación abierta teorema.