La factorización de los elementos y de los ideales, y está siendo una UFD equivalente a cualquier propiedad que puede ser enunciada completamente sin referencia al anillo de los elementos?

Question

Qué es exactamente la única factorización de elementos irreducibles una cosa natural a buscar? Por supuesto, es cierto que en los $\mathbb{Z}$ y nos gustaría ver en donde más es cierto; también, independientemente de si algo es natural o no, el estudio se extiende nuestro conocimiento de las matemáticas, lo cual siempre es bueno. Pero la única factorización de elementos específicamente una pregunta de elementos - parece completamente contrarios a la categoría de teoría de la filosofía de la caracterización de la estructura a través de los mapas entre los objetos en lugar de sus elementos. De hecho, me siento como única factorización de ideales en primer ideales es menos una generalización de factorización única de elementos irreducibles que el último es un desordenado, antinatural caso especial de la primera, un "puro" de la pregunta (ideales, siendo los núcleos de mapas entre los anillos, me siento cumplir con mis criterios para ser una categoría-teóricamente aceptable cosa a tener en cuenta). Sin duda, el tema común en álgebra (y la mayoría de las matemáticas) es buscar en la descomposición de las estructuras en la más simple de las estructuras - , pero muy rara vez en elementos reales.

Ahora, para el buen casos como el de los anillos de enteros en un número de campos, podemos caracterizar a ser un UFD en términos de la clase de grupo y otras buenas estructuras y no tener que meterse con anillo de elementos, pero mirando en la página de la Wikipedia en Ufd y la alternativa de las caracterizaciones que de la lista general de los anillos, todos ellos parecen depender de el anillo de los elementos de alguna manera (el vínculo de "divisor teoría" está roto, y no sé lo que es, así que si alguien pudiera explicarlo y/o punto de que me de algunos recursos para ello, sería muy apreciado).

Lo siento por el senderismo pregunta, pero me preguntaba si alguien tenía alguna idea o comentario? Es "ser una unidad flash usb" equivalente a cualquier propiedad que puede ser enunciada completamente sin referencia al anillo de los elementos? Nos debe importar si es o no?

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EDIT: he Aquí una forma más sencilla y directa de decir lo que yo estaba tratando de conseguir en: La estructura teorema de f.g. los módulos a través de un PID, el Artin-teorema de Wedderburn, el Jordan-Titular teorema - estos son estructurales y descomposiciones. Única factorización de elementos no es, debido a que los elementos no son una estructura. Mi sensación es que esto hace que sea fundamental un menor natural de la pregunta, y me pregunto si ser un UFD puede ser caracterizado en términos puramente estructurales términos, que recuperan el concepto de algo, creo.

Answer 1

Esta es una especie de anti-respuesta, pero: mi instinto es que ZC es tomar la categórica perspectiva demasiado lejos.

Para empezar filosóficamente, creo que es bastante adecuado, cuando se les da una estructura matemática como un espacio topológico o un anillo, es decir, un conjunto con estructura adicional -- abstenerse de preguntar exactamente qué tipo de objeto de cualquier elemento de la estructura. Hay un famoso ensayo "Lo que los números no pudo ser" por Paul Benacerraf, en la que él se burla de la idea de imaginar a dos niños que se les ha enseñado acerca de los números naturales por dos diferentes "militante logicists". Su educación va bien hasta que un día se meten en una discusión en cuanto a si el 3 es un elemento de 17. (La escritura es muy agradable aquí y extraordinariamente ingenioso para un ensayo sobre la matemática de la filosofía: los nombres de los niños son Ernie y Johnny, una alusión a la Zermelo y von Neumann, que había rival definiciones de los números ordinales.) El punto es que es una pregunta tonta, y un matemáticamente inútil: no nos ayuda a entender la estructura de los números naturales mejor.

Por otro lado, negar que un conjunto es una parte esencial de cierto (de hecho, muchos) estructuras matemáticas parece estar llevando las cosas demasiado lejos. Hasta donde yo sé, no es uno de los objetivos de la categoría de la teoría para eliminar los conjuntos (a pesar de que uno de vez en cuando oye vagos murmullos en este sentido, nunca he visto una explicación de esto o, más críticamente, de la necesidad de este).

Volviendo a los anillos, me parece que muy pocas propiedades de los anillos puede ser expresado sin elementos. También parece implícitamente sugieren que es más "estructurales" para pensar las cosas en términos de los ideales de los elementos. Puede usted explicar esto? Parecería que hablar de ideales implica más conjunto teórico de la maquinaria de hablar acerca de los elementos: esto es ciertamente verdadero en el modelo de la teoría en el lenguaje de los anillos.

Me parece mal decir que la única factorización de ideales primos es una "generalización" de la única factorización de elementos, ya que ni la propiedad implica la otra.

Por último, un comentario positivo: parece que usted podría como la caracterización de Ufd como Krull dominios con trivial divisor del grupo de clase.

Answer 2

Primero de todo, la ubicuidad de la categoría de la teoría de álgebra es bastante reciente, al menos, dado el tiempo que las personas han estado trabajando en el álgebra (no incluso elementales de la teoría de números). Gran parte de la teoría algebraica de números fue desarrollado en el siglo de mid-19th, en un intento de demostrar el Último Teorema de Fermat. Desde la categoría de la teoría no se muestran durante otro siglo, matemáticos como Kummer y Dedekind había pocas razones para pensar en esos términos. La noción de clase de grupo se presentó como una obstrucción a Kummer intento de prueba del Último Teorema de Fermat, que supone que todas las cyclotomic campos de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ tenía el número de la clase 1 (o, al menos, el primer a $p$). Es difícil ver de qué forma Kummer argumentos tomaría si se formulan en el lenguaje de la factorización de los ideales. Creo que cuando fallas en Kummer argumentos fueron expuestos, los matemáticos se dieron cuenta de que la factorización de ideales se comporta mucho mejor que el de la factorización de los elementos. Pero para un siglo de mid-19th matemático, que debe haber sentido mucho más natural intentar factor de elementos de ideales, sino que sólo se estudia el segundo porque el primero por lo general no. Ahora entendemos que al ser un UFD (número de clase 1) es simplemente el mejor caso, la clase y el grupo en general es la obstrucción.

Answer 3

No una respuesta, en realidad se trata más de una cuestión.

Ya que estamos hablando de UFdomains voy a asumir que mis anillos son dominios. Deje $R$ ser un conmutativa de dominio con $1$. Observe que la noción de capital ideal puede ser definido sin hablar de los elementos en $R$.

Es el verdadero?

$R$ es un UFD si y sólo si $R$ satisface ACC para los principales ideales y cada una de las prime ideal $P$ $ht(P)=1$ es la directora.

si la respuesta a la anterior es sí, esto da una caracterización de Ufd que no hable acerca de los elementos.

Answer 4

Esto está relacionado con las ideas actualmente estoy explorando en mi blog, así que me gustaría también agradecemos cualquier aporte en esta pregunta! Espero que a nadie le importa si me divagar un poco.

Aquí está una manera alternativa de la redacción única de la factorización. Dado un integrante del dominio de considerar la relación de divisibilidad en la no-unidades, y el cociente a cabo por unidades. De esta manera se obtiene un poset. Un integrante de dominio es un UFD si y sólo si este poset es un producto de las cadenas, uno para cada elemento irreductible. La razón por la que quiero frase única factorización de esta manera es que es más clara de lo análogo definiciones se encuentran en otras situaciones algebraicas: por ejemplo, de forma análoga a ser un producto de cadenas en la categoría de parque natural posets podría ser un producto cíclico de los grupos en la categoría de grupos. Son productos de la cíclica grupos antinatural a mirar? Bueno, eso depende de lo que quieres decir, pero yo diría que son sólo un caso simple donde es fácil entender lo que está pasando.

Edit: yo también estoy convencido de que no hay una línea dura entre "estructurales" y "no estructurales" preguntas. Por ejemplo, una manera más concisa para decir lo que he dicho anteriormente es que la única factorización es esencialmente una cuestión acerca de la estructura de la multiplicativo monoid de la no-unidades (hasta el grupo de unidades).