Si $\nabla$ es la derivada covariante, por lo que $\nabla: \mathcal{X}(S) \rightarrow \mathcal{X}(S) \otimes \Omega^{1}(S)$ ?

Question

Estoy estudiando geometría diferencial, y mi profesor definió la derivada covariante de esta manera:

Dejemos que $S \subset \mathbb{R}^3$ sea una superficie, $$\mathcal{X}(S) = \left\{ \xi:S\rightarrow \bigcup\limits_{p\in S} T_p S; \mbox{ }\xi(p) \in T_pS\hspace{0.1cm} \forall\hspace{0,1cm} p \in S \right\}$$ (el conjunto de los campos sobre la superficie $S$ ), y $\Omega^{1}(S)$ el conjunto de formas 1 sobre $S$ .

Considere $p$ $\in$ $S$ y $y \in T_pS,$ elegir una curva $\alpha: I \rightarrow S$ , satisfaciendo $\alpha(0) = p$ y $\alpha'(0) = y$ podemos definir la derivada covariante en $p$ del campo vectorial $\xi$ en relación con el vector $y$ como : $$\nabla_y \xi (p) := \pi_{T_pS} \circ \left(\left.\frac{d\xi(\alpha(t)) }{dt} \right|_{t=0}\right). $$ Donde $\pi_{T_pS}$ es la proyección de $\mathbb{R}^3$ en $T_p S$ . Es fácil comprobar que esta definición no depende de la parametrización de la curva $\alpha$ .

Ahora, podemos ampliar esta noción de derivada covariante cambiando el vector $y$ para un campo $X$ $\in$ $\mathcal{X}(s)$ Así que

$$\nabla_{X} \xi (p) := \nabla_{X(p)} \xi(p). $$

Mi problema está aquí. Mi profesor dijo que esta característica nos muestra que el operador $\nabla$ actúa en $\mathcal{X}(S)$ y devuelve el tensor de $\mathcal{X(S)}\otimes \Omega^{1}(S),$ es decir

$$\nabla: \mathcal{X}(S) \rightarrow \mathcal{X}(S)\otimes\Omega^{1}(S)$$ $$\xi \mapsto \nabla\xi $$

Realmente quiero saber por qué $\nabla \xi$ $\in$ $\mathcal{X}(S)\otimes\Omega^{1}(S)$ . Desde mi conocimiento y comprensión de las circunstancias, veo $\nabla \xi$ como $$\nabla \xi : \mathcal{X}(S) \rightarrow \mathcal{X}(S) $$

lo que implica $\nabla \xi$ $\in$ $\mathcal{F}(\mathcal{X}(S),\mathcal{X}(S))= \{f:\mathcal{X}(S)\rightarrow \mathcal{X}(S) \}$ . Es $\mathcal{F}(\mathcal{X}(S),\mathcal{X}(S)) = \mathcal{X}(S)\otimes\Omega^{1}(S)$ (o isomorfo como espacio lineal) ? Si es así, ¿cómo lo veo?

Answer 1

Esto es cierto si se consideran los objetos implicados como $C^{\infty}(S)$ -módulos.

Es decir, dado un campo vectorial $\xi \in \mathcal{X}(S)$ y una función suave $f \in C^{\infty}(S)$ puede formar el producto $f\xi$ que se define puntualmente por $(f\xi)(p) = f(p)\xi(p)$ (el producto del vector tangente $\xi(p) \in T_pM$ por el número $f(p)$ ). Esto también funciona para las formas diferenciales y, más generalmente, para las secciones de un haz vectorial sobre $S$ y da $\mathcal{X}(S)$ y $\Omega^1(S)$ la estructura de un $C^{\infty}(S)$ -módulo. Entonces tenemos un isomorfismo natural de $C^{\infty}(S)$ -módulos entre

$$ \mathcal{F}(\mathcal{X}(S), \mathcal{X}(S)) = \operatorname{Hom}_{C^{\infty}(S)}(\mathcal{X}(S), \mathcal{X}(S)) := \{ T \colon \mathcal{X}(S) \rightarrow \mathcal{X}(S) \, | \, T(fX) = fX \,\,\, \forall f \in C^{\infty}(S) \} $$

y

$$ \mathcal{X}(S) \otimes_{C^{\infty}(S)} \Omega^1(S). $$

Para definir el isomorfismo, hay que tener en cuenta que tenemos un $C^{\infty}(S)$ mapa bilineal $$\Phi \colon \mathcal{X}(S) \times \Omega^1(S) \rightarrow \mathcal{F}(\mathcal{X}(S), \mathcal{X}(S))$$ dado por $$ \Phi(\xi, \omega)(\nu) = \omega(\nu) \xi.$$

Por la propiedad universal del producto tensorial, esto da un mapa (denotado por el mismo símbolo) $$\Phi \colon \mathcal{X}(S) \otimes_{C^{\infty}(S)} \Omega^1(S) \rightarrow \mathcal{F}(\mathcal{X}(S), \mathcal{X}(S)) $$ y resulta que este mapa es un isomorfismo.

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Obsérvese que el mapa definido anteriormente es el mismo que se definiría para mostrar que $V \otimes_{\mathbb{R}} V^{*}$ es isomorfo a $\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(V,V)$ como espacios vectoriales reales. Sin embargo, el argumento de por qué este mapa es un isomorfismo es más delicado porque se está trabajando con módulos (no necesariamente libres) sobre un anillo y no con espacios vectoriales de dimensión finita. Para más detalles, véase el capítulo 7 del libro "Differentiable Manifolds" de Lawrence Conlon.

Answer 2

Una transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita $V$ y $W$ puede verse como un elemento de $W \otimes V^*$ . El mapa canónico $$ \phi\colon W \times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W),\ \phi(w,\alpha)(v) = \alpha(v)w $$ es bilineal, por lo que los factores a través de un homomorfismo $W \otimes V^*\to \operatorname{Hom}(V,W)$ . Comprobando en una base se puede ver que se trata de un isomorfismo.

Para cualquier $\xi\in\mathcal{X}(S)$ y $p\in S$ el operador $\nabla \xi$ es una transformación lineal de $T_pS$ a $T_pS$ . Por lo tanto, es un elemento de $T_pS \otimes T_p^* S$ para cada $p$ . Tomado globalmente, $\nabla \xi$ es una sección de $TS \otimes T^*S$ que es isomorfo a $\mathcal{X}(S) \otimes \Omega^1 (S)$ .