las tasas de cambio de la 2ª Chebychevs función

Question

Deje $\psi(x):=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$ denota la 2da función de Chebyshev, donde $\Lambda$ representa el von Mangoldt función. ¿Hay algún conocido (y 'agradable') las estimaciones de los índices de cambio de $\psi(x+h)-\psi(x)$ general o especial $x$$h$?

Gracias de antemano,

efq

Answer 1

No es la estimación asintótica $\psi(x+h) - \psi(x) \sim h$$x^{7/12 + \epsilon} \leq h \leq x$, válido para cualquier $\epsilon > 0$. Esto es debido a la M. N. Huxley, y data de 1972. Yo no soy consciente de mejor gama de $h$ si desea asintótico de la igualdad. Pero si usted está satisfecho con un orden de magnitud del resultado, usted puede tener $c_1h \leq \psi(x+h) - \psi(x) \leq c_2h$ $c_1$ $c_2$ constantes positivas y $x^{\theta} \leq h \leq x$ algunos $\theta$, ligeramente mayor que $0.5$. No te puedo dar referencias de primeras, pero usted debería ser capaz de encontrar dichos documentos mediante la búsqueda en el R. C. Baker, G. Harman, J. Pintz en Mathscinet.

Answer 2

También, creo que Selberg del resultado afirmar que "casi todos x" tenemos $\psi(x + h) - \psi(x) \sim h$ $h \asymp (\log x)^2$ esto fue demostrado no ser cierto "pointwise" por Mayer.