Cómo convertir un vinilo en un cuenco

Question

Estuve leyendo en algunas notas sobre espacios vectoriales y uno de los autores insistieron en hacer de un conjunto $\mathbb{X}$ en un espacio vectorial. Pensé que era bastante loco, pero tal vez yo no soy de ver el punto.

El ejemplo fue a lo largo de la línea de algo como:

Dado un conjunto $\mathbb{X} = \mathbb{R^2}$, vamos a $x = (u_1,u_2), u_1,u_2\in \mathbb{R}$

Definir $(u_1,u_2)$ + $(v_1,v_2)$ = $(u_1+v_1, u_2+v_2)$, $\alpha (u_1,u_2) = (\alpha u_1, \alpha u_2)$

A continuación, $\mathbb{X} = \mathbb{R^2}$ se convierte en un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$

... Es realmente necesaria la construcción de un espacio vectorial de conjunto de $\mathbb{R^2}$? No podemos simplemente usar $\mathbb{R^2}$ como un espacio vectorial sin forzar a nosotros mismos para definir las operaciones en $\mathbb{R^2}$ cada vez que queremos tratar como un espacio vectorial?

Es este exceso de rigor o es una práctica estándar?

Answer 1

Cuando la gente dice $\mathbb{R}^2$, es comúnmente implícita de todos sus "canónica" de la estructura (como un espacio vectorial, espacio topológico, espacio métrico etc).

Pero usted debe saber lo que esta estructura canónica es!

Imagine que usted entra en una habitación donde todo el mundo conoce a Bob. También conoce a Bob. Pero todo el mundo también sabe que Bob el perro, que todo el mundo asume que todo el mundo más sabe: es un simple perro, después de todo! Lo que ocurre es que nunca has sido introducido a Bob el perro, ni visto en fotos, etc. Sólo se sabe que es un perro. Incluso se puede decir: Ah, bueno, Bob tiene un perro. Pero usted no sabe su color, o si se come mucho: no sabemos sus características y estructura. ¿Qué vas a hacer si usted necesita comprar un regalo para Bob el perro? No importa lo simple que es, usted todavía necesita saber Bob el perro de a conocer su "estructura". Después de que usted ha introducido, usted puede entrar en el "club", y hablar de Bob, con un subyacente, conocido perro.

Answer 2

La notación $\Bbb R^2$ ya se refiere al espacio vectorial se está refiriendo, por lo que no hay necesidad de definir el vector de estructura de espacio cada vez que utilice la notación. Pero tenemos que definir todo, incluso la notación común, al menos una vez en nuestra vida, de modo que los términos incluso tienen significado. Si o no usted necesita para reescribir la definición de nuevo en otro contexto depende de sus fines, la audiencia, y el cómo estándar de los términos o notaciones. En otras palabras, así como las palabras mismas.

Answer 3

Así que la mayoría de nosotros encuentra $\mathbb R^2$ como el cartesiano plano en el que podemos crear ejes, croquis funciones, explorar la geometría, encuentro vectores etc. Es un objeto familiar.

Entonces nos encontramos, en álgebra, el concepto abstracto de un espacio vectorial. Entendemos la idea de una cosa que queremos hacer es tomar lo que hemos aprendido en la $\mathbb R^2$, y otros ejemplos que nos son familiares, y usar ese conocimiento en un contexto más general. Lo que tal vez quiera explorar más dimensiones, y necesito saber si hay cosas que son especiales cerca de dos dimensiones que no se aplican en tres. Nos encontramos con la idea de complejo de espacios vectoriales, y tal vez alguien nos dice que la idea ha resultado provechoso en álgebra abstracta.

Por lo tanto, hacer una definición en abstracto. Pero, ¿la definición de hecho se refieren a nuestro original y el ejemplo más familiar? Nos ayudará a hacer el salto conceptual a partir de lo concreto a lo abstracto? Vamos a comprobar que funciona ... y entonces estamos listos para ir.

Como otros han dicho, no necesitamos hacerlo cada vez - pero tenemos que hacerlo al menos una vez.

Answer 4

Nunca hay demasiado rigor en las matemáticas. ;)

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores a través de un conjunto de escalares, con dos operaciones: adición de vectores y la multiplicación escalar. Si usted no tiene operaciones, usted no tiene un espacio vectorial.

Y usted va a discutir diferentes operaciones en las $\Bbb{R}^2$ otros que el estándar de la suma y la multiplicación, por lo que sí es necesario ser explícito con lo que las operaciones de las que están hablando.

Answer 5

Para usar el idioma de manera efectiva, usted tiene que considerar su audiencia...

En el contexto de una clase de introducción a la división superior curso de álgebra lineal, es bueno ser explícito sobre el espacio vectorial de las operaciones. Después de todo, no tienen que ser definidos, y no hay valor para hacer hincapié en ese punto.

En un contexto profesional, sería una locura. El lector sabe lo que significa que si usted llama a $\mathbb R^2$ un espacio vectorial. Actuando como si ellos no sería un insulto y una pérdida de tiempo.