Evaluar $\lim _{x\to \infty }\left(\cos\sqrt{x}-\cos\sqrt{x-1}\right)$

Question

¿Cómo debo determinar el siguiente límite?

$\lim _{x\to \infty }\left(\cos\sqrt{x}-\cos\sqrt{x-1}\right)$

Answer 1

SUGERENCIA

El uso de $\cos x - \cos y = -2 \sin(\frac {(x - y)} 2 ) \sin(\frac {(x + y)} 2 )$

A continuación, $\lim _{x\to \infty }\sin(\frac {(\sqrt x - \sqrt {x-1})} 2 )=\lim _{x\to \infty }\sin(\frac 1 {2(\sqrt x + \sqrt {x-1})})=0$

Debido a $\sin(\frac {(\sqrt x + \sqrt {x-1})} 2) $ es acotado, se sigue por el límite es cero

Answer 2

La diferencia entre el $\sqrt{x}$ $\sqrt{x-1}$ se convierte en arbitraria pequeño como $x$ va al infinito. Desde $\cos$ es uniformemente continua en función de la diferencia entre el coseno de dos arbitraria cerrar los números es 0. Por lo que el límite es 0.

Uniforme de la continuidad de una forma más fuerte de la continuidad. Tener un almacén de derivados es una condición suficiente para que una función sea uniformemente continua.

Este método requiere algo más de trabajo para hacer un rígido a prueba, pero es un método general que funciona en muchos casos y cumple con la intuición.

Answer 3

$$\cos\sqrt{x}-\cos\sqrt{x-1}=2\sin\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{2}\sin\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x}}{2}=$$ $$=-2\sin\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{2}\sin\frac{1}{2(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})}\rightarrow0$$

Answer 4

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\bigg|\int^{\sqrt{x}}_{\sqrt{x-1}}\sin xdx\bigg| \leq \lim_{x\rightarrow \infty}\int^{\sqrt{x}}_{\sqrt{x-1}}1dx = \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right) = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)}=0$

Answer 5

Enfoque directo:

Deje $f(x) := \cos\sqrt{x} - \cos\sqrt{x - 1}$.

Por el valor medio teorema, para dos valores de $a, b \in \mathbb R$ existe $t\in\mathbb [a, b]$ tal que $\cos(b) - \cos(a) = \cos'(t)(b - a)$. Por lo tanto,$$ |f(x)|=|\cos\sqrt{x} - \cos\sqrt{x - 1}| \\ =|\cos(t)(\sqrt{x} - \sqrt{x - 1})| \\ =|-\sin(t)|\cdot|\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}|\\ \le|\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}| = \sqrt{x} - \sqrt{x - 1} =: g(x)$$

para todos los $x>1$.

---

Afirmación: $\lim_{x\rightarrow\infty} g(x) = 0$.

Prueba: Supongamos $\epsilon > 0$. Entonces

$$g(x) \le \epsilon\\ \Leftrightarrow\sqrt{x} \leq \epsilon + \sqrt{x - 1}\\ \Leftrightarrow x \leq \epsilon^2 + 2\sqrt{x - 1} + x -1\\ \Leftrightarrow x \geq 1+(1-\epsilon^2)^2/4 =: x_0$$

Por lo tanto, para todos los $x> x_0$,$|g(x)| = g(x) \le \epsilon$.

---

Junto con $|f(x)|\le g(x)$, los rendimientos de $\lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = 0$.