Área bajo una curva de coordenadas polares

Question

Tenemos la función $r=\sin(3\theta)$ y quiero calcular el área bajo su curva.

Creo que esto es fácil si utilizamos una integral doble. Debería ser:

$3\displaystyle\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{\sin(3\theta)}rdrd\theta$

¿Estoy en lo cierto?

Pero ahora, quiero encontrar la solución utilizando una integral de una variable. ¿Es esto posible?

Gracias.

Answer 1

En efecto, es posible hallar el área encerrada por la curva $r = \sin(3\theta)$ utilizando sólo una integral. Recuerda que la fórmula para el área encerrada por $r=f(\theta)$ entre $\theta= \alpha $ y $ \theta = \beta$ en coordenadas polares es

A = $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2} r^2 d\theta $

Podemos utilizar esta fórmula para hallar el área de nuestra función. Para simplificar los cálculos, podemos utilizar el hecho de que la gráfica de $r=\sin(3\theta)$ es una "rosa", y que el área de cada uno de los "pétalos" es la misma y, por tanto, el área encerrada por nuestra "rosa de 3 pétalos" es tres veces el área de un pétalo.

Un pétalo se traza desde $\theta = 0$ a $\theta = \pi/3$ por lo que el área encerrada por la curva viene dada por: \begin{align} A &= 3\int_{0}^{\pi/3}\frac{1}{2} \sin^2(3\theta) d\theta \\ &= \frac{3}{4}\displaystyle\int_{0}^{\pi/3} (1-\cos(6\theta)) d\theta \\ &= \frac{3}{4}[(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{6}\sin(2\pi))-(0-\frac{1}{6}\sin(0))]\\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi}{3} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{align}