¿En qué tipos de categorías un epi mónico es un isomorfismo?

Question

¿Existe una descripción general de las categorías $\mathscr{C}$ en el que todos los epis mónicos son en realidad isomorfismos?

En general, los epis mónicos no tienen por qué ser isomorfismos. Por ejemplo, en el $\mathbf{Ab}$ -con un único objeto y cuyos morfismos son los elementos de algún anillo unital (no necesariamente conmutativo) $R$ todos los elementos regulares de $R$ son epis mónicos, pero sólo las unidades son isomorfismos.

Un ejemplo más concreto es la categoría de ( editar: Hausdorff; gracias Zhen Lin) espacios topológicos; la incrustación de cualquier subespacio propio denso (ex. $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ con la topología habitual) es mónico puesto que es inyectivo, y es un epi puesto que un mapa continuo de un espacio a un espacio de Hausdorff está determinado por su restricción a un subespacio denso. Otro ejemplo de esta categoría es cualquier biyección continua que no sea un homeomorfismo, como por ejemplo $[0,1)\rightarrow S^1$ .

Por otra parte, en la categoría $R$ - $\mathbf{mod}$ una mónica es inyectiva y una epi es suryectiva, y un morfismo biyectivo es un isomorfismo; por tanto, una epi mónica es un isomorfismo. Por el Teorema de Incrustación de Freyd-Mitchell, se deduce que si $\mathscr{C}$ es una categoría abeliana pequeña, un epi mónico es un isomorfismo. (Véase estos preguntas para eliminar la condición "pequeño").

Del mismo modo, si $\mathscr{C}$ es una categoría concreta tal que la monicidad y la epicidad son preservadas por el functor olvido, y un morfismo inverso a nivel de conjuntos eleva a un inverso en la categoría, tal como $\mathbf{Grp}$ (o $\mathbf{Set}$ para el caso), entonces mónico + épico $\Rightarrow$ isomorfismo.

Así, mónico + épico $\Rightarrow$ iso es una condición que se cumple en las categorías abelianas y en algunas otras categorías, pero no en todas las categorías.

¿Existe una descripción general razonable (por ejemplo, limpia o elegante) de las categorías en las que mónico + épico $\Rightarrow$ ¿ISO?

Adenda: para cualquiera que esté confundido (como yo lo estaba) sobre el punto que Zhen Lin y Qiaochu Yuan mencionan a continuación sobre Hausdorff frente a espacios topológicos más generales:

Si $X,Y$ son espacios topológicos y $f,g:X\rightarrow Y$ son mapas continuos que coinciden en un subconjunto denso $D\subset X$ En general, no hay garantías de que $f=g$ . En efecto, si $Y$ es un espacio indiscreto, todo mapa hacia él es continuo, por lo que si tiene al menos dos elementos, $f$ y $g$ se puede elegir libremente diferir fuera de $D$ sin afectar a la continuidad.

Sin embargo, si $Y$ es Hausdorff, $f,g$ deben coincidir en todas partes, y Hausdorffness es exactamente lo que se necesita para forzar esto: si $\exists x\in X$ con $f(x)\neq g(x)$ entonces existen vecindades abiertas disjuntas $U\ni f(x)$ y $V\ni g(x)$ en $Y$ por la hipótesis de Hausdorff, y entonces $f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$ es un subconjunto abierto no vacío de $X$ (ya que contiene $x$ ), que cumple así $D$ digamos en un punto $x'$ y, por lo tanto $f(x')=g(x')$ es un punto común de $U$ y $V$ , contrariamente a su construcción.

Answer 1

Una categoría con esta propiedad se denomina equilibrado aunque creo que este término es terrible.

En la práctica, el problema que surge es que los monomorfismos en alguna categoría corresponden a nuestra noción intuitiva de los mapas "inyectivos", pero los epimorfismos frecuentemente no corresponden a nuestra noción intuitiva de los mapas "suryectivos"; por ejemplo, en $\text{Ring}$ localizaciones como $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ son epimorfismos, y en los espacios de Hausdorff, cualquier mapa con imagen densa es un epimorfismo.

Para recuperar los mapas "suryectivos" suele ser necesario trabajar con una noción más fuerte de epimorfismo, como por ejemplo epimorfismos fuertes o epimorfismos efectivos . Con cualquiera de estas nociones más fuertes que conozco, un monomorfismo que es un epimorfismo en un sentido más fuerte es un isomorfismo. Así que el fracaso de epis mónico para ser isos puede ser pensado como el fracaso de epis para ser alguna noción más fuerte de epi.

En una categoría abeliana, más o menos por definición, todo epimorfismo es efectivo, así que estamos bien. En general la condición de que todo epimorfismo sea efectivo es una forma de la primer teorema de isomorfismo , y no conozco ningún sinsentido abstracto que lo garantice fácilmente: me parece que los sinsentidos abstractos no pueden distinguir fácilmente entre la categoría de grupos y la categoría de monoides, y la categoría de grupos tiene la propiedad de que todo epimorfismo es efectivo mientras que la categoría de monoides no (vuelve a ser cierto que toda localización es un epimorfismo).

Para categorías concretas $U : C \to \text{Set}$ la segunda condición que describes (que los isomorfismos se eleven) significa que el functor olvidadizo $U$ es conservador . En particular, si $U$ es monádico (y en particular tiene un adjunto izquierdo). $U$ a menudo preserva los límites y, por tanto, los monomorfismos, pero a menudo no preserva los epimorfismos y, por tanto, los colímites. Es un hecho de la vida. (El functor olvidadizo de grupos a conjuntos preserva notablemente los epimorfismos a pesar de que apenas preserva ningún colímite).

Se puede evitar todo esto demostrando cosas sobre alguna noción más fuerte de epimorfismo en lugar de sobre epimorfismos.