Estaba releyendo este viejo libro de la mía; y me di cuenta de que al definir las reglas de las formas diferenciales, "tiene sentido" que tengamos la regla $dx \wedge dx=0$ porque si $dx$ es infinitesimal, entonces en las aproximaciones de primer orden podemos ignorar las potencias de $dx$ . Del mismo modo, la definición de la derivada exterior $d$ de una forma diferencial $\omega=Adx+Bdy+Cdz$ , $d\omega=\frac{dA}{dx}dx + \frac{dB}{dy}dy + \frac{dC}{dz}dz $ "tiene sentido" porque parece que sólo estamos multiplicando la parte superior e inferior por los diferenciales $dx,dy,$ y $dz$ .
Pero es prácticamente un milagro que introduciendo las simples relaciones de conmutación antisimétricas para las formas diferenciales, y aplicando operaciones muy elementales, podamos llegar a todos los resultados del cálculo vectorial como el gradiente y el producto cruzado, entre una gran cantidad de otros resultados bien conocidos.
En este libro en particular, los autores motivan la condición de antisimetría mediante propiedades de los determinantes y jacobianos para el cambio de variables en la integración. Pero me preguntaba si hay otras maneras de pensar por qué las formas diferenciales deben conmutar antisimétricamente, lo que podría proporcionar algo más de intuición sobre por qué funciona este "milagro".
Gracias.
