Es $2^\infty$ incontable y ¿la cardinalidad es una función continua?

Question

Pido disculpas si el título parece demasiado vago, pero así es como me plantearon la pregunta. Así que uno de mis amigos tenía la intención de escribir una suma infinita como $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_{2^i}$ .

Sin embargo, escribió $\displaystyle \sum_{i=2^0}^{2^\infty} a_{i}$ . Entonces le preocupaba si $2^\infty$ era incontable [ya que habíamos demostrado $|2^{\mathbb{N}}| = c$ en clase y $2^X$ representa el conjunto de potencias de $X$ ] y la suma no tenía sentido ya que creía que estaba sumando un número incontable de elementos. Resolví sus dificultades explicándole que $2^n \to n$ es una inyección y, por tanto, el conjunto de potencias de dos puede tener una cardinalidad como máximo igual a la de los naturales y, por tanto, el conjunto es contable. No estaba muy convencido :( ¿Hay algún argumento más convincente?

Supongo que estaba cegado por alguna noción de que la cardinalidad es una función continua de los conjuntos. Para hacerlo preciso, vamos a definir:

${\cal F}_n := 2^{\{1,2,3,\cdots, n\}} $ . $\mathbb{N}$ es el conjunto de los naturales.

Observamos que ${\cal F}_n \subset {\cal F}_{n+1}$ y $\displaystyle \bigcup_{n \geq 1} {\cal F}_n = 2^{\mathbb{N}}$ ( Editar : $\displaystyle \bigcup_{n \geq 1} {\cal F}_n = 2^{\mathbb{N}}$ es equivocado (véanse los comentarios más abajo).

Ahora $|{\cal F}_n| = 2^n$ y por lo tanto debemos tener ${\cal F}_n \to 2^{\mathbb{N}}$ y así $|{\cal F}_n| \to c$ .

Así que creo que la cardinalidad no es una función continua, pero entonces se necesita una topología natural sobre los cardinales para decir tal cosa. Así que mi pregunta es: ¿Tenemos una topología natural sobre los cardinales en la que se pueda demostrar que la cardinalidad no es una función continua de los conjuntos?

Gracias, señor,

Iso

Answer 1

Los cardenales de forma ordenada la clase, es que tenemos una buena noción de "mayor cardinalidad". Asumiendo el axioma de la elección de esta clase es totalmente ordenado y, de hecho, bien ordenado, es decir cada colección no vacía de cardenales tiene un miniumum elemento.

La topología de los cardenales de hecho es el natural de la topología en pedidos: abrir conjuntos de uniones de intervalos. Esto significa que hay muchos puntos aislados, todo lo finito cardenales por ejemplo. Sin embargo, no hay manera de escribir $\aleph_0$ en un intervalo abierto sin infinitamente muchos finito cardenales.

Esto significa que $\aleph_0$ es un límite cardenal nos puede entonces continuar mayor inifinities, la idea es la misma, tiene un cardenal $\mu$, entonces hay una próxima: $\mu^+$. Después de una infinidad de pasos que usted tiene un límite de cardenal.

Ahora, ¿qué es una función continua en esta topología? Es una función que respetar los límites, que es: $$\sup\{f(\kappa_i):i\in I\}=f(\sup\{\kappa_i:i\in I\}$$

Con respecto a esta topología, si es así, decir que la función de $\mu\mapsto2^\mu$ es decir que por un límite cardenal $\lambda$ tenemos $\sup\{2^\kappa:\kappa<\lambda\}=2^\lambda$.

Esto no es cierto, incluso en $\aleph_0$ ya tenemos:

1. $\sup\{n:n\in\mathbb N\}=\aleph_0$.
2. Si $n$ es finito, a continuación, $2^n$ es finito, por lo tanto,$\sup\{2^n:n\in\mathbb N\}=\aleph_0$.
3. Como sabéis $2^{\aleph_0}>\aleph_0$.

Por lo tanto, la continuidad de la función tiene una discontinuidad en $\aleph_0$.

Por otro lado es posible que haya continuidad en el límite de los cardenales por razones triviales. Por ejemplo, si todos los valores por debajo del límite son constantes y están por encima del límite, podemos tener continuidad puntos.

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Probablemente debería responder a la pregunta del título: Es $2^\infty$ incontable?

Bien, $\infty$ no es una matemática exacta del objeto, es una noción de "mayor que todos los números reales", sin embargo este no es un cardenal de la noción. Los números reales no significa cardinalidad, sino más bien largo, así que en un sentido $\infty$ significa que "más que todos finito longitudes".

Si te refieres a $\lim_{n\to\infty} 2^n$ nadie puede reemplazar a $n$ por el conjunto de definiciones de finito de números: $$0=\varnothing; n+1=\{0,\ldots,n-1\}$$

De ello se desprende que $n<m\iff n\in m$, e $n\le m\iff n\subseteq m$. Entonces tenemos que $\lim_{n\to\infty} 2^n = |\bigcup_{n\in\mathbb N}\mathcal P(n)|=\aleph_0$. Este es, de hecho, contables, y que representa a todos los finita subconjuntos de a $\mathbb N$.