Tratando de entender el verdadero significado de la integral y la derivada en el cálculo

Question

Estoy resolviendo una pregunta de física, y acabo de encontrarme con una pregunta que no tenía ni idea de cómo empezar, acabo de obtener la respuesta correcta y dentro de ella tiene algo de matemáticas que nunca creí posible,

Sé que la integral de $a$ (aceleración) por $t$ (tiempo) me dará $v$ (velocidad), También sé que la integral de $v$ por $t$ me dará $r$ o $x$ (el vector de movimiento). Sé que la derivada de $x$ me dará $v$ , y la derivada de $v$ me dará $a$ .

Acabo de ver estas pocas líneas:

De alguna manera entiendo que se puede reemplazar $a$ con dv/dt porque es básicamente lo mismo, pero no tengo ni idea de cómo se puede multiplicar el dt en el sector izquierdo de la ecuación, ¿qué significa?

Siempre pensé que dx es básicamente decir 'Derivada por x' nunca pensé que fuera algo "real" con lo que se pudiera multiplicar y utilizar las matemáticas básicas...

Espero que pueda darme alguna idea al respecto, ¡gracias!

En otra respuesta encontré esto como respuesta a "¿Qué hace $dx$ significa?":

$dx$ no significa nada. Es sólo un recurso sintáctico para indicarte la variable a diferenciar con respecto a o la variable de integración.

Esto es exactamente por lo que estoy preguntando, porque ¿cómo se puede multiplicar $dx$ en otra cosa si sólo es un recurso sintáctico?

Answer 1

$dx$ se llama diferencial. La notación se debe a Leibniz y, aunque el significado original puede haber cambiado de ser una cantidad infinitesimal a una diferencial de estilo moderno, se sigue manteniendo la notación sólo porque permite hacer algunas matemáticas básicas sobre las diferenciales (como has escrito) y obtener resultados razonables. Como la regla de la cadena $$ \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \frac{du}{dx} $$ que podría escribirse como $$ df = \frac{df}{du} \, du $$ y utilizarlo, por ejemplo, para resolver una integral con sustitución de variables $u = x^2$ , $du = 2 x \, du$ : $$ \int\limits_a^b x^2 dx = \int\limits_{a^2}^{b^2} u \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int\limits_{a^2}^{b^2} \sqrt{u} \, du $$ O el diferencial total $$ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz $$ O la longitud de arco de una curva en el $x$ - $y$ -Avión: \begin {align} ds^2 &= dx^2 + dy^2 \Rightarrow \\ L &= \int\limits_1 ^2 ds \\ &= \int\limits_ {x_1}^{x_2} \frac {ds}{dx} \N - dx \\ &= \int\limits_ {x_1}^{x_2} \frac { \sqrt {dx^2 + dy^2} {dx}, dx \\ &= \int\limits_ {x_1}^{x_2} \sqrt {1 + \left ( \frac {dy}{dx} \right )^2} \N-, dx \\ \end {align} En ese sentido, los diferenciales y las reglas utilizadas para manipular los diferenciales forman un "Kalkül", una forma de calcular los resultados. (Sólo tengo una referencia en alemán para esto: enlace ).

Answer 2

La técnica que se utiliza aquí se llama separación de variables. Se puede hacer sin separar diferenciales utilizando la regla de la cadena. En concreto, se tiene (simplificando un poco la notación)

$$\frac{dv}{dt} = \frac{mg - cv}{m}.$$

Dividiendo ambos lados por la expresión de la derecha, se obtiene

$$\frac{dv}{dt} \frac{m}{mg-cv} = 1.$$

Ahora integra ambos lados donde la variable de tiempo va de $0$ a $t$ :

$$\int_0^t \frac{dv}{ds} \frac{m}{mg-cv} ds = \int_0^t ds.$$

Lo molesto de hacerlo así es que tenemos que introducir una nueva variable $s$ a utilizar como variable de integración. Pero una vez hecho esto, ahora sólo hay que integrar el lado izquierdo por sustitución, lo que se puede justificar por la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo.

Cuando escribes esto con separación de diferenciales, esencialmente estás escribiendo el resultado sintáctico que ocurre después de cambiar las variables en el lado izquierdo, y luego quitando el símbolo de integración. Es decir, se obtiene

$$\int_{v(0)}^{v(t)} \frac{m}{mg-cu} du = \int_0^t ds$$

que puede escribirse de forma abreviada como

$$\frac{m dv}{mg-cv} = dt.$$

Answer 3

El problema es que las ecuaciones físicas suelen utilizar una aproximación de diferencias finitas a una derivada: $$x'=\frac{dx}{dt}\approx\frac{\Delta x}{\Delta t}$$ Siempre que $x$ es lineal sobre la región de interés, esa aproximación es correcta. En general, si el paso de tiempo ( $\Delta t$ ) es lo suficientemente pequeño, entonces la aproximación de linealidad se cumple. De hecho, ésta es la base de cómo los ordenadores integran las ecuaciones diferenciales. Se aproximan al siguiente valor de la función: $$x'(t)+g(t,x)*x(t)=h(t,x)$$ Al hacer esto: $$x'(t)\approx \frac{\Delta x}{\Delta t} \approx h(t,x)-g(t,x)*x(t)$$ Un paso adelante proporcionando un valor para $\Delta t$ : $$x_{new}(t)\approx x(t)+\Delta x=x(t)+(h(t,x)-g(t,x)*x)*\Delta t$$