Polinomio : $ P(x+1)-2P(x)+P(x-1)=6x $

Question

Encontrar todos los polinomios $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ satisfaciendo

$$ P(x+1)-2P(x)+P(x-1)=6x $$

Mi intento :

Desde $ P(x+1)+P(x-1)-2P(x)=6x $ Así que $P(x)$ no es polinomio constante.

Sea $P(x+1)-P(x)= Q(x)$

así que $Q(x)-Q(x-1)=6x, \;\; \forall x \in \mathbb{R}$

por inducción, $Q(x+n)-Q(x)= 6((x+n)+(x+n-1)+...+(x+1))$

Continúa a partir de la respuesta de dxiv,

$Q(n)-Q(0) = 6(n+(n-1)+...+1)$

$Q(n)=Q(0) + 6(n+(n-1)+...+1)=Q(0) + 3n(n+1) $

así que $P(n) = Q(n-1) + Q(n-2)+ ...+Q(0)+P(0)$

$= \displaystyle\sum^{n-1}_{i=1}3i(i+1) + nQ(0)+P(0)$

$= \displaystyle\sum^{n-1}_{i=1}3i(i+1) + nP(1)- nP(0)+P(0)$

$= \displaystyle\sum^{n-1}_{i=1}3i(i+1) + nP(1)-(n-1)P(0)$

$= 3\displaystyle\sum^{n-1}_{i=1}(i^2+i) + nP(1)-(n-1)P(0)$

$= n^3-n + nP(1)-(n-1)P(0)\;\; \forall x \in \mathbb{N}$

Desde $P(x)-x^3-x(P(1)-1)+(n-1)P(0)$ tiene infinitas raíces por lo que

$P(x)-x^3-x(P(1)-1)+(n-1)P(0) = 0$ obtenemos

$P(x)=x^3+x(P(1)-1)-(n-1)P(0)\;\; \forall x \in \mathbb{R}$

En $P(1)-1$ y $(n-1)P(0)$ están en $\mathbb{R}$ obtenemos

$P(x)=x^3+cx+d,\; \forall x \in \mathbb{R}$ y $c,d$ son constantes reales.

Answer 1

Sea $\delta$ sea el operador que asigna un polinomio $p(x)$ en el polinomio $(\delta p)(x)=p(x+1)-p(x)$ .

1. Si $p$ no es constante, el grado de $\delta p$ es el grado de $p$ menos uno;
2. Si el primer término de $p(x)$ es $ax^n$ con $n\geq 1$ el primer término de $(\delta p)(x)$ es $na x^{n-1}$ ;
3. Si $p(x)=\binom{x}{k}$ con $k\geq 1$ entonces $(\delta p)(x)=\binom{x}{k-1}$ ;
4. Cualquier polinomio puede representarse en la base binómica y con dicha representación el operador $\delta$ actúa esencialmente como un desplazamiento por el punto anterior.

El problema se puede plantear como $$ (\delta^2 P)(x) = 6\binom{x+1}{1} $$ por lo que la solución viene dada por $$ P(x) = 6\binom{x+1}{3} = \color{blue}{x^3-x}.$$ $(\delta^2 P)(x)$ es igual a cero si el grado de $P$ es $\leq 1$ por lo que el conjunto completo de soluciones viene dado por $\color{blue}{x^3+ax+b}$ .

Answer 2

Sea $\;P(x+1)-P(x)= Q(x)\;$ así que $\;Q(x)-Q(x-1)=6x$

por inducción, $Q(x+n)-Q(x)= 6((x+n)+(x+n-1)+...+(x+1))$

Para $\,x=0\,$ : $\displaystyle\;\;Q(n)=Q(0) + 6\big(n+(n-1)+\cdots+1\big)=Q(0)+3n(n+1)\,$ entonces:

$$\,P(n)=Q(n-1)+Q(n-2)+\cdots+Q(0)+P(0)= P(0)+n\,Q(0)+ 3\sum_{k=0}^{n-1} k(k+1)=\cdots$$

Answer 3

Pista:

WLOG $$P(x)=\sum_{r=0}^na_rx^r$$

Compara las constantes y el coeficiente de las potencias crecientes de $x$ encontrar $a_r$ s

Answer 4

Nota $P$ y $Q$ son dos polinomios diferentes que satisfacen la relación dada, entonces $R = P-Q$ satisface $$R(x+1) - 2R(x) + R(x+1) = 0$$ lo que implica $R$ es lineal: obtenemos que $R(n) = an + b$ forma una progresión aritmética para enteros $n$ y, por tanto $R(x) = ax + b$ para todos $x$ .

La última afirmación se deduce del hecho de que si dos polinomios toman los mismos valores en infinitos puntos, entonces son idénticos.

Se puede ver que $P(x) = x^3$ es una solución (usando el teorema binomial) y por tanto la forma general de la solución es

$$P(x) = x^3 + ax + b$$

Es fácil comprobar que para cualquier $a, b$ esto satisface la ecuación original.

Answer 5

Debe ser $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ .

La condición da $6ax+2b=6x$ .

Así, $a=1$ , $b=0$ y $P(x)=x^3+cx+d$ .

$$P(x)=P(0)+P'(0)x+\frac{P'(0)}{2!}x^2+...+\frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^n=$$

$$=P(1)+P'(1)(x-1)+\frac{P'(1)}{2!}(x-1)^2+...+\frac{P^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n=$$ $$=P(-1)+P'(1)(x+1)+\frac{P'(-1)}{2!}(x+1)^2+...+\frac{P^{(n)}(-1)}{n!}(x+1)^n,$$ que da $$P(x+1)=P(1)+P'(1)x+\frac{P'(1)}{2!}x^2+...+\frac{P^{(n)}(1)}{n!}x^n$$ et $$P(x-1)=P(-1)+P'(-1)x+\frac{P'(-1)}{2!}x^2+...+\frac{P^{(n)}(-1)}{n!}x^n.$$ Así, $$6x=P(x+1)-2P(x)+P(x+1)=$$ $$=P(1)-2P(0)+P(-1)+\left(P'(1)-2P'(0)+P'(-1)\right)x+$$ $$+\frac{P''(1)-2P''(0)+P''(-1)}{2!}x^2+...\frac{P^{(n)}(1)-2P^{(n)}(0)+P^{(n)}(-1)}{n!}x^n$$ y desde ... ?