Velocidad del sonido en fluidos no newtonianos

Question

Recientemente vi algunos videos de fluidos no newtonianos (de espesamiento por cizallamiento) como almidón de maíz mezclado con agua (a veces conocido como oobleck), donde se coloca el fluido encima de un cono de altavoz y comienza a crear formas extrañas a medida que se vuelve más espeso en algunos lugares. Ahora me pregunté qué sucedería en la siguiente situación:

Supongamos que una habitación con paredes reflectantes está completamente llena con dicho fluido. En un lado de la habitación se produce un sonido a través de un altavoz. En el otro lado de la habitación hay un micrófono. ¿Cómo se propagará una onda de sonido a través de esa sustancia? ¿Aumenta el fluido su viscosidad antes, durante o después de que una onda se mueva a través de él? ¿Cuál será la velocidad del sonido en tal caso? He leído que la velocidad del sonido es mucho más rápida en sólidos que en líquidos, pero ¿cómo es eso para este tipo de substancia?

Answer 1

Te proporcionaré antecedentes matemáticos que explican de dónde provienen las ondas sonoras, así como las ondas de corte, y otras ondas en aproximaciones continuas y por qué la viscosidad no tiene influencia en tales ondas: En forma euleriana, las ecuaciones vectoriales de movimiento para un fluido o continuo sólido se pueden escribir como $$\frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t} + \frac{\partial\mathbf{F}(\mathbf{q})}{\partial \mathbf{x}} = \vec{\nabla} \cdot \underline{\mathbf{S}}$$ donde $\mathbf{q}$ es un vector de tamaño $n$ y $\underline{\mathbf{S}} = \underline{\mathbf{S}}(\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial\mathbf{x}})$ es una matriz de tamaño $n \times 3$. Para los fluidos, típicamente tendrías $\mathbf{q}=(\rho,\rho u,\rho v,\rho E)$ y para sólidos, $\mathbf{q}=(\rho,\rho u,\rho v,\rho E, \epsilon_x,\epsilon_y)$. El término $\mathbf{F}(\mathbf{q})$ representa flujo conservativo. Es importante tener en cuenta que $\mathbf{F}$ solo depende directamente de $\mathbf{q}$ y no de ninguna de sus derivadas espaciales. Alternativamente, $\underline{\mathbf{S}}$ depende solo de las derivadas espaciales de $\mathbf{q}$. Si bien esta ecuación es una ecuación diferencial parcial no lineal muy complicada, para pequeñas perturbaciones es completamente análoga a la simple ecuación de advección-difusión $$\frac{\partial q}{\partial t} + \lambda\frac{\partial q}{\partial x} = \kappa\frac{\partial^2 q}{\partial x^2}$$ con velocidad de onda $\lambda$ y coeficiente de difusión $\kappa$. Para poner las ecuaciones de movimiento para sólidos y fluidos en una forma similar, simplemente aplica la regla de la cadena para obtener $$\frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t} + \frac{\partial\mathbf{F}(\mathbf{q})}{\partial \mathbf{q}}\frac{\partial \mathbf{q}}{\partial\mathbf{x}} = \frac{\partial \underline{\mathbf{S}}}{\partial(\partial\mathbf{q}/\partial \mathbf{x})}\vec{\nabla} \frac{\partial\mathbf{q}}{\partial\mathbf{x}}$$ Comparando esto con la simple ecuación lineal de advección-difusión, podemos extraer todas las velocidades de onda dependientes del estado del Jacobiano $\mathbf{\underline{J}}=\frac{\partial\mathbf{F}(\mathbf{q})}{\partial \mathbf{q}}$ al notar que si $\mathbf{F}(\mathbf{q})$ fuera constante, entonces una transformación de variables de acuerdo con sus eigenvectores producirá $n$ ecuaciones independientes de advección-difusión con velocidades de onda correspondientes a los eigenvalores del Jacobiano. Del mismo modo, el lado derecho corresponde estrictamente a procesos de difusión.