¿Cómo puedo demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{7},\sqrt{-1})$ es de Galois?
Al principio pensé que era la división de campo de la $x^4-7$, pero que sólo fue capaz de demostrar que era un subcampo de la división de campo. Alguna idea?
Estoy tratando de encontrar todos los intermedios campos en términos de sus generadores, pero no entiendo cómo. Estoy tratando de imitar a Dummit y Foote en este. Estoy buscando en los subgrupos del grupo de Galois en términos de $\tau$ donde $\tau$ es el automorphism que tarda $\sqrt[4]{7}$ y $i$$-i$, e $\sigma$ que se lleva a $\sqrt[4]{7}$ $i\sqrt[4]{7}$ $i$a sí mismo. ¿Cómo, por ejemplo, encontrar el subcampo correspondiente a $\{1, \tau\sigma^3\}$? Sé que se supone que debo encontrar cuatro elementos del grupo de galois que $\tau\sigma^3$ correcciones, pero hasta ahora sólo se puede encontrar $-\sqrt[4]{7}^3$.
