Continuación analítica - Fácil explicación?

Question

Hoy en día, como yo estaba pasando mi copia de Álgebra Superior por Barnard y el Niño, me encontré con un teorema que dice,

La serie $$ 1+\frac{1}{2^p} +\frac{1}{3^p}+...$$ diverges for $p\leq 1$ and converges for $p>1$.

Pero más tarde me enteré de que la zeta función está definida para todos los valores complejos distinto de 1. Ahora sé que Riemann analíticamente continuó esta función para adaptarse a todos los valores complejos, pero, ¿cómo puedo explicar a un profano en la materia, que $\zeta(0)=1+1+1+...=-\frac{1}{2}$?

La Wiki de artículos sobre estos temas, que van por encima de mi cabeza. Agradecería si alguien puede que me lo explique qué continuación analítica en realidad es y que funciones pueden ser analíticamente continuación?

AGREGA más ADELANTE: Y si la función diverge para$p\leq1$, ¿cómo se WolframAlpha capaz de calcular $\zeta(1/5)$? No debe dar infinito como la respuesta?

Answer 1

Te voy a dar la más sencilla del mundo ejemplo. $1+x+x^2+\dots$ converge para $|x|\lt1$ solamente. La función de $1/(1-x)$ es analítica en todas partes excepto por una pole en $x=1$, y está de acuerdo con $1+x+x^2+\dots$ en todas partes el último es definido, por lo $1/(1-x)$ es la continuación analítica de $1+x+x^2+\dots$. En ese sentido, $1+2+4+\dots=-1$.

Answer 2

Si todos los que estamos interesados es una explicación para un laico de por qué una cosa como la continuación analítica tiene ningún sentido para empezar (en particular, ¿por qué se escupe una respuesta única), la respuesta es la identidad teorema de holomorphic funciones, que en su forma más fuerte, dice que si dos holomorphic funciones de $f, g$ definido conectado a un subconjunto abierto $U$ $\mathbb{C}$ son iguales en un conjunto de puntos en $U$ con un punto de acumulación (en particular, cualquier subconjunto de a $U$), a continuación, en el hecho de $f = g$. Esta es una muy fuerte rigidez teorema de la generalización de la correspondiente hecho de polinomios, y la muestra de que si se desea ampliar un holomorphic función de $f$ definido en algunas de dominio $U$ a una función $\tilde{f}$ definido en algunas de las grandes conectado el dominio $V$, entonces hay una manera de hacerlo (ya que cualquiera de las dos extensiones de acuerdo en $U$ y, por tanto, está de acuerdo en $V$).

Un sentido de "continuación analítica" es que se refiere a cualquier función de $\tilde{f}$ con la por encima de la propiedad, y otro sentido de "continuación analítica" es que se refiere a los métodos para la definición de las $\tilde{f}$$f$.

A veces es el caso de que una función $f$ puede ser analíticamente siguió un gran dominio de $U$, pero que una serie o integral de la definición de $f$ no puede ser hecho a converger en todos los de $U$. El punto filosófico que sacar de esto es que holomorphic funciones tienen una especie de "Platónica de la realidad", que no es necesariamente perfectamente captada por cualquier serie en particular o integral de la definición de los mismos, que son sólo imperfecta "sombras" de este Platónica de la realidad. El lema que uso en esta situación y otras similares es que

la convergencia está sobrevalorado.

En respuesta a la edición, WolframAlpha es el uso de "sombras", por otros de la serie estándar de definición de la Riemann zeta función.

Answer 3

Respuesta a la añadió el párrafo único. Supongo que al menos esta parte es sencilla. En el caso de que el argumento de la función zeta es un real $x>1$ los zeta de la función puede ser expresada como $$\zeta (x)=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{x}}=\frac{1}{1-2^{1-x}}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k-1}}{k^{x}},\qquad(\ast)$$

donde la última es la serie de Dirichlet eta función. Ya para $x>0$ esta alternancia de la serie converge (debido a $1/k^x\to 0$), y $1-2^{1-x}\neq 0$$x\in]0,1[\cup]1,\infty[$, la función de $\zeta (x)$ puede ser continuado analitically a $x\in]0,1[\cup]1,\infty[$ (tenga en cuenta que $1$ está excluido como en la primera serie) como

$$\zeta (x)=\frac{1}{1-2^{1-x}}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k-1}}{k^{x}}.$$

Para $x=1/2$, obtenemos $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k-1}}{k^{1/2}}\approx 0.6049$ y

$$\zeta (1/2)=-\left( 1+\sqrt{2}\right) \sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k-1}}{k^{1/2}}\approx -1.4604.$$

Añadido: Derivación de $(\ast)$:

$$\begin{eqnarray*} \zeta (x) &=&\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{x}}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{% (-1)^{k-1}}{k^{x}}+2\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{\left( 2k\right) ^{x}} \\ &=&\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k-1}}{k^{x}}+2^{1-x}\zeta (x). \end{eqnarray*}$$

La relación de la siguiente manera.