Diferenciación de la función $x^3\cdot\min\{x,9\}$

Question

Hoy me he encontrado con la función $x^3\cdot \min\{x,9\}$ .

Mi profesor lo diferenció y lo escribió directamente de nuevo como $3x^2\cdot\min\{x,9\}$

Me preguntaba cómo es que el $\min\{x,9\}$ parte no se ve afectada por la diferenciación. ¿Alguna idea, por favor? ¿O me estoy perdiendo algo bastante obvio?

Answer 1

Aquí tienes una función definida a trozos: si $x<9$ entonces $\min(x,9)=x$ y $f(x)=x^3\cdot x=x^4$ . Pero si $x>9$ entonces $\min(x,9)=9$ y $f(x)=x^3\cdot 9=9x^3$ .

Así, su función es $$f(x)=\cases{ x^4, &x<9\cr 9x^3,&x\ge9}$$

Tendrás que encontrar el derivado por separado para cada pieza:

Para $x<9$ , $$\tag{1}f'(x)=(x^4)'=4x^3.$$

Para $x>9$ , $$\tag{2}f'(x)=(9x^3)'=27x^2.$$

En $x=9$ con el fin de determinar si $f'(9)$ se define, hay que ver si las fórmulas anteriores "coinciden" en $x=9$ . Es decir, hay que comprobar que la "derivada a 9" dada por (1) y (2) es la misma. Así que hay que calcular el límite de la expresión en (1) como $x$ se acerca a 9 desde la izquierda, y el límite de la expresión en (2) como $x$ se acerca al 9 por la derecha: $$ \lim_{x\rightarrow 9^-} 4x^3=4\cdot 9^3. $$

$$ \lim_{x\rightarrow 9^+}27x^2=27\cdot9^2=3\cdot 9^3. $$ Ya que los dos son diferentes, $f'(9)$ es indefinido.

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Véase la astuta observación de Jonas más abajo.

Mirando el gráfico de $f$ y las expresiones (1) y (2), no es demasiado difícil ver que $f'(9)$ existe si y sólo si los dos límites anteriores existen y son iguales. La afirmación anterior, sin embargo, no es cierta en general.

Answer 2

Otra forma de ver el error cometido por tu profesor es que olvidó cómo diferenciar el producto de dos funciones. La derivada del primer factor $f(x)=x^3$ es, de hecho, $f'(x)=3x^2$ pero la derivada del segundo factor $g(x)=\min\{x,9\}$ es $g'(x)=1,$ si $x<9$ y $g'(x)=0$ , si $x>9$ . Como otros han señalado, $g(x)$ no es diferenciable en el punto $x=9$ . La derivada correcta es, por tanto, la siguiente $$ \frac d{dx}\,\big(f(x)g(x)\big)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x), $$ siempre que existan las dos derivadas.

Por supuesto, es un ejercicio fácil comprobar que esta fórmula coincide con la respuesta que dio David Mitra.