La siguiente proposición proporciona sólo una respuesta parcial a la última edición.
La proposición. No existe un $ f: \Bbb{R} \to \Bbb{R} $ que se ajusta a la más fuerte exigencia se refleja en el OP de la más reciente edición si asumimos $ g $ continuamente diferenciable.
Prueba
Como $ g $ es, por supuesto, surjective y diferenciable en todas partes, existe un $ a \in \Bbb{R} $ tal que $ g'(a) \neq 0 $. A continuación, mediante la suposición de que $ g': \Bbb{R} \to \Bbb{R} $ es continua, el Teorema de la Función Inversa dice que nos podemos encontrar en un intervalo abierto $ I $ contiene $ a $ la satisfacción de las siguientes:
- $ g[I] $ es un intervalo abierto que contiene a $ g(a) $.
- $ g|_{I}: I \to g[I] $ es invertible.
- $ (g|_{I})^{-1}: g[I] \to I $ es diferenciable.
Ahora podemos escribir $ f|_{g[I]} $ como la composición de dos funciones diferenciables:
$$
f|_{g[I]} = (f \circ g) \circ g|_{I})^{-1}.
$$
Por la Regla de la Cadena, $ f|_{g[I]} $ es diferenciable en a $ g[I] $, por lo que llegamos a la conclusión de que $ f $ es diferenciable en algún intervalo abierto al menos (si $ g' $ es continua). $ \quad \blacksquare $
Última Edición
Esta última edición, a pesar de que no responde a la pregunta en su totalidad, muestra que $ f $ no puede ser mal comportamiento en todas partes.
Teorema. Deje $ f: \Bbb{R} \to \Bbb{R} $ $ g: \Bbb{R} \to \Bbb{R} $ ser surjective funciones que tanto $ g $ $ f \circ g $ es diferenciable en todas partes. Entonces hay una cantidad no numerable de $ a \in \Bbb{R} $ tal que $ f $ posee un solo lado derivado en $ g(a) $.
Prueba
Como $ g $ no es constante en $ \Bbb{R} $, no existe por el Teorema de Darboux una cantidad no numerable de $ a \in \Bbb{R} $ tal que $ g'(a) \neq 0 $. Fijar un $ a $, y elegir un $ \Delta > 0 $ tal que
$$
\forall h \in [- \Delta\Delta] \setminus \{ 0 \}: \quad
\frac{g(a + h) - g(a)}{h} \neq 0.
$$
En particular, $ g(a + h) - g(a) \neq 0 $ todos los $ [- \Delta,\Delta] \setminus \{ 0 \} $. Como no hay ningún peligro de dividir por $ 0 $, de este modo, obtener
\begin{align}
\forall h \in [- \Delta,\Delta] \setminus \{ 0 \}: \qquad
~ & \frac{(f \circ g)(a + h) - (f \circ g)(a)}{g(a + h) - g(a)} \cdot
\frac{g(a + h) - g(a)}{h} \\
= ~ & \frac{(f \circ g)(a + h) - (f \circ g)(a)}{h}.
\end{align}
Equivalentemente,
\begin{align}
(\spadesuit) \qquad
\forall h \in [- \Delta,\Delta] \setminus \{ 0 \}: \qquad
~ & \frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{g(a + h) - g(a)} \\
= ~ & \frac{(f \circ g)(a + h) - (f \circ g)(a)}{h} \cdot
\frac{1}{\left[ \frac{g(a + h) - g(a)}{h} \right]}.
\end{align}
Definir una función $ I: (0,\Delta] \to \mathcal{P}(\Bbb{R}) $ por
$$
\forall \delta \en (0,\Delta]: \quad
I(\delta) \stackrel{\text{df}}{=}
\{ g(a + h) \in \Bbb{R} \mediados de los h \in [- \delta\delta] \}.
$$
El Teorema del Valor Intermedio nos dice que para cada una de las $ \delta \in (0,\Delta] $, la continuidad de $ g $ garantiza que $ I(\delta) $ es cerrado, acotado intervalo, y como $ g(a + h) \neq g(a) $ cualquier $ h \in [- \delta,\delta] \setminus \{ 0 \} $, podemos ver que $ I(\delta) $ también es no degenerada, yo.e, contiene otros puntos de $ g(a) $. A continuación, defina
\begin{align}
L & \stackrel{\text{df}}{=}
\{ \delta \in (0,\Delta] \mid I(\delta) \cap (- \infty,g(a)) \neq \varnothing \},
\\
R & \stackrel{\text{df}}{=}
\{ \delta \in (0,\Delta] \mid I(\delta) \cap (g(a),\infty) \neq \varnothing \}.
\end{align}
Por la discusión anterior, tenemos $ L \cup R = (0,\Delta] $. Por lo tanto, ya sea
- $ 0 $ es un punto límite de $ L $, o
- $ 0 $ es un punto límite de $ R $.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que es el Caso (1) que se produce.
Nota: Los casos no son mutuamente excluyentes, es decir, tanto podría ocurrir.
Por nuestra suposición de que el Caso (1) se produce, tenemos $ I(\Delta) \cap (- \infty,g(a)) \neq \varnothing $. Como tal, vamos a $ (y_{n})_{n \in \Bbb{N}} $ ser cualquier secuencia en la $ I(\Delta) \cap (- \infty,g(a)) $ que converge a $ g(a) $. Nos audazmente afirmación de que
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{f(y_{n}) - f(g(a))}{y_{n} - g(a)}
= \frac{(f \circ g)'(a)}{g'(a)},
$$
lo cual implicaría que la izquierda-derivado de la $ f $ $ g(a) $ existe.
Definir una secuencia $ (h_{n})_{n \in \Bbb{N}} $ $ [- \Delta,\Delta] $ por
$$
\forall n \in \Bbb{N}: \quad
h_{n} \stackrel{\text{df}}{=}
\text{Un número $ h \in [- \Delta,\Delta] $ más cercano a $ 0 $ tal que $ g(a + h) = y_{n} $}.
$$
Tal $ h $ existe porque $ {g^{\leftarrow}}[\{ y_{n} \}] \cap [a - \Delta,a + \Delta] $ es no vacío, compacto subconjunto de $ \Bbb{R} $. Así como evitar el uso del Axioma de Elección en esta etapa, se elige $ h_{n} $ a ser positivo siempre que sea posible.
Se argumenta que las $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} h_{n} = 0 $. Asumir lo contrario. A continuación, podemos encontrar una $ \epsilon > 0 $ y una larga $ (h_{n_{k}})_{k \in \Bbb{N}} $ $ (h_{n})_{n \in \Bbb{N}} $ tal que $ |h_{n_{k}}| \geq \epsilon $ todos los $ k \in \Bbb{N} $. Elegir un $ \delta \in (0,\epsilon) \cap L $ (esto es, donde la asunción de Caso (1) juega un papel). Como $ I(\delta) \cap (- \infty,g(a)) = [m,g(a)) $ algunos $ m < g(a) $, somos capaces de encontrar una $ K \in \Bbb{N} $ lo suficientemente grande para que $ y_{n_{K}} \in I(\delta) $. De ello se desprende que $ y_{n_{K}} = g(a + h) $ algunos $ h \in [- \delta,\delta] \subseteq (- \epsilon,\epsilon) $, lo que hace que $ h $, incluso más, a $ 0 $ $ h_{n_{K}} $ - es una contradicción.
El uso de $ (\spadesuit) $ ahora, por lo tanto, obtener
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{f(y_{n}) - f(g(a))}{y_{n} - g(a)}
& = \lim_{n \to \infty} \frac{f(g(a + h_{n})) - f(g(a))}{g(a + h_{n}) - g(a)} \\
& = \lim_{n \to \infty}
\frac{(f \circ g)(a + h_{n}) - (f \circ g)(a)}{h_{n}} \cdot
\frac{1}{\left[ \frac{g(a + h_{n}) - g(a)}{h_{n}} \right]} \\
& = (f \circ g)'(a) \cdot \frac{1}{g'(a)} \qquad
\left( \text{As %#%#%.} \right) \\
& = \frac{(f \circ g)'(a)}{g'(a)}.
\end{align}
Por lo tanto, $ \lim_{n \to \infty} h_{n} = 0 $ ha dejado de derivados en $ f $. Si adoptamos el Caso de (2) en su lugar, tendría un derecho derivado en $ g(a) $. En cualquier caso, $ g(a) $ tiene una cara de derivados en $ f $, y como hemos demostrado en el principio de que hay una cantidad no numerable de tal $ g(a) $, hemos terminado. $ a $
