Mediante la realización de una adecuada escala y la rotación de las coordenadas, o de otra manera, evaluar $\iiint_V \sin^2{(x + y + z)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ donde $V$ es la región $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} < 1$ $a,b,c$ son constantes positivas.
Esta es una pregunta que en un pasado en el examen del papel que estoy revisando.
Mi intento en la pregunta:
La primera escala de las coordenadas por lo que el cambio $(x,y,z) = (au,bv,cw)$, lo que significa que ahora se integran a través de una esfera, como opuesto a un elipsoide. El Jacobiano de la transformación es abc y por lo tanto nuestra nueva integrante es $$abc\iiint_{\text{Unit Sphere}}\sin^2(au + bv + cw) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w$$
Ahora tengo que girar las coordenadas para que nuestros integral será más fácil evaluar una vez que hemos llegado a transformar a esféricas en coordenadas polares. Consideramos esto como $$abc\iiint_{\text{Unit Sphere}}\sin^2((a,b,c)\cdot\mathbf{r}) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w$$ where $\mathbf{r}$ represents our coordinate system. Then by rotating the coordinates to form new coordinates $X,Y,Z$ in such a way that the $Z$ axis points in the direction of the vector $(a,b,c)$ the integral becomes $$abc\iiint_{\text{Unit Sphere}}\sin^2(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\mathbf{e_3}\cdot\mathbf{r})\, \mathrm{d}V = abc\iiint_{\text{Unit Sphere}}\sin^2(Z\sqrt{a^2+b^2+c^2}) \,\mathrm{d}V$$
Ahora tenemos el cambio a coordenadas polares esféricas $(X,Y,Z) = (r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)$, y el integral se convierte en $$abc\int_{r=0}^1\int_{\theta=0}^\pi\int_{\phi=0}^{2\pi} \left( \sin^2(r\cos\theta\sqrt{a^2+b^2+c^2})\cdot r^2\sin\theta\right)\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}r$$
Y es en este punto me hago perplejo. ¿Alguien tiene alguna sugerencia sobre dónde ir desde aquí?
