Euler de la identidad: ¿por qué es el$e$$e^{ix}$? Lo que si se tratase de alguna otra constante como $2^{ix}$?

Question

$e^{ix}$ describe un círculo unidad en coordenadas polares en el plano complejo, donde x es el ángulo (en radianes) en sentido antihorario de la real positiva del eje.

Mi intuición detrás de esto es que $\frac{d}{dx}e^{ix}=i\cdot e^{ix}$. Puesto que la multiplicación por i es un giro de 90 grados, se podría pensar en $e^{ix}$ como el vector de posición de una partícula y $\frac{d}{dx}e^{ix} = i\cdot e^{ix} $ como su velocidad (x podría ser el momento). La velocidad es siempre perpendicular al vector de posición, por lo que hemos movimiento circular.

Esperemos que he descrito esta bien, ver también http://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/ si usted no entiende de dónde vengo.

Lo que yo no entiendo es por qué usted necesita la "e" de la identidad de Euler. Lo que si se tratase de alguna otra constante: por ejemplo, 2? No te daría un círculo, pero ¿cómo puedo visualizar qué es lo que te gustaría conseguir?

Por ejemplo, ¿qué sería de $2^{ix}$ ven como en el plano complejo? Tomo nota de que $2^{ix} = e^{ix\cdot ln(2)}$, y que podría sustituir a la identidad de Euler y obtenga $e^{ix\cdot ln(2)}=cos(x\cdot ln2) + i\cdot sin(x\cdot ln2)$.

Así que mi pregunta tiene dos partes:

1) ¿por Qué tomamos e (y no algún otro número) a la potencia de ix para obtener un círculo?

2) ¿cómo se vería si tomamos algún otro número a la potencia de la ix? $e^{ix}$ realmente nos da una constante el radio de la espiral en tres dimensiones (por ejemplo, http://www.songho.ca/math/euler/euler.html), ¿qué sería de $2^{ix}$ aspecto en el complejo espacio 3d? ¿Cómo podía haber pensado que fuera?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Gran pregunta! Vamos a la trama para $2^{ix}$, $0 \le x \le 2\pi$ (como se haría con $e^{ix}$), y a ver qué pasa:

Woah, no es un círculo.

¿Por qué es esto? Bien, porque, por supuesto, nuestra frecuencia es $\log 2$! Para $0 \le x < 2\pi$, que no está todo el camino alrededor. ¿Hasta dónde tenemos que ir? (No es tan difícil de averiguar).

Para responder a su primera pregunta, la razón de que tome $e$ es porque es el único número que jives con nuestra noción de $2\pi$ radianes en un círculo.

Para tu segunda pregunta, que significa que usted podría obtener la misma cosa. Pero con un apretado/perdedor de la espiral!

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Edit: Ya $2\pi$ radianes no es suficiente para llegar a nosotros en un círculo completo con $2^{ix}$, tal vez podríamos averiguar cómo muchos "log-dos-dians" son necesarios.

Alternativamente, supongamos que queremos hacer las cosas en grados sin necesidad de una conversión explícita a radianes. ¿Qué sería de nuestra base necesitan ser?

Answer 2

Nosotros, en general, definir (ignorando $a=0$)

$$a^{ix}\equiv e^{i x\ln a}=e^{ixR -xM}$$

donde tomaremos el principal valor del logaritmo y deje $\ln a= R+iM$ se divide en partes real e imaginaria.

Si tu único objetivo es tener el locus de ser un círculo, a continuación, cualquier $a$ tal que $M=0$ va a hacer - lo que es equivalente, usted necesita $a>0$. La única diferencia con el $e$ caso es que la velocidad a la que vaya por todo el círculo se ajustaron por $R$. (Su buena idea de la diferenciación y darse cuenta de ortogonalidad todavía funciona aquí.)

Si desea que el círculo que se recorrerá a una velocidad tal que $x$ $2\pi$ periódico, entonces usted necesita $R=1\iff a=e$.

Si usted se considera negativo $a$ o general imaginario $a$ a continuación, puede ver a partir de la fórmula anterior de que usted obtenga un círculo multiplicado por un nuevo plazo $e^{-xM}$ que se estira a medida que se dibuja. Esto hace que un (logarítmica) en espiral.

En el espacio 3D, el reescalado círculos se convierten en hélices que son más o menos extendido (como resortes se comprimen o alargado). Los imaginarios dar varias espirales se extendía a través del espacio. Gráfico ellos si usted está interesado por la definición de ecuaciones paramétricas $x=t,y=e^{-Mt}\cos (Rt),z=e^{-Mt}\sin (Rt)$.

Answer 3

Porque $$e^{2\pi i \frac{k}{n}} \qquad 0 \le k < n$$ es el ($n$-th) de la raíz de la unidad.

Uno no puede ni hacer un perfecto cyclotomy ocurrir lo contrario (ver aquí>>>), ni lo que requeriría un cyclotomy.

Answer 4

Complejo exponentes se puede pensar de la misma manera que hacerlo con los exponentes. Primero definimos que a^n = a*a*... Entonces nos preguntamos ¿qué pasa si n es cualquier número real. Solución: los límites. Podemos definir la función exponencial

$$ \ a^{x}=\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{x}{n})^{n} $$ (la visualización de esta limitación proceso de ayuda, pero por desgracia yo no puedo hacerlo)

x puede ser, por ejemplo. Simplemente dividir el tiempo más pequeños y pequeñas partes, para poder calcular el verdadero exponente queremos. Cuando x = 1, entonces

$$ \ = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n} = 2.71828... = e $$

Continuando con esta misma analogía con los números complejos definimos i^n = 90 grados de rotación n veces (-1 es de 180 grados de rotación y sqrt(-1) es la mitad de eso). Nos preguntamos cómo calcular con verdadero exponente n. De nuevo, n (x) puede ser el tiempo y la limitación de proceso se define de manera similar:

$$ \ a^{\algebra x} = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{\algebra x}{n})^{n} $$

Cuando x = 1, entonces $$ \ a^{\algebra } = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{\algebra x}{n})^{n} = {2.71828...}^{\algebra} = e^{\algebra} $$

De ello se sigue que x está en radianes (en la unidad de arco circular de longitud es simplemente x). En la anterior limitación de proceso cuando nos acercamos lo suficiente, entonces x es también la vertical cordinate de yo y esta pequeña pieza es también la pieza de la unidad de circulo. Así que si tomamos x = $ \pi $, luego dividimos todo este camino infinitamente muchas de las piezas y ver que una pieza es parte del círculo unidad. Complejo de exponenciación obedecer logarítmica comportamiento (esto puede ser visto de muchas maneras) por lo que podemos añadir todas las piezas juntas y a la conclusión de

$$ \ e^{\algebra \pi} = -1 $$