Deje $K$ ser un campo y $R=K[x_1,\ldots,x_n]=\bigoplus_{a\in\mathbb{N}^n}Kx^a$ el multigraded el polinomio de anillo. Han finitely generado multigraded $R$-módulos sido clasificado? Son ellos de la forma $R^r\oplus\bigoplus_{i=1}^sR/Rx^{a_i}$ para algunos (único?) $a_1,\ldots,a_s\in\mathbb{N}^n$?
Yo estaba pensando que a lo largo de las siguientes líneas. Si una $\mathbb{N}^n$-graduado $R$-módulo de $M$ es generado por $v_1,\ldots,v_r$, entonces podemos asumir que todos los $v_i$ es homogénea de grado $a_i$ (de lo contrario cada uno de estos $v_i$ es una combinación finita de vectores homogéneos). Deje $R^{[a]}$ $R$- módulo de $R$ con la calificación desplazado por $a\!\in\!\mathbb{N}^n$. Así, el mapa de $R^r\!=\!\bigoplus_{i=1}^rR^{[a_i]}\rightarrow M$ que envía a $e_i\mapsto v_i$ es un surjective gradual de morfismos, por lo que su kernel $A$ es graduado submódulo y $M\cong R^r/A$, es decir,$$\textstyle{A=\bigoplus_{b\in\mathbb{N}^n}(R^r)_b\cap A=\bigoplus_{b\in\mathbb{N}^n}\prod_iKx^{a_i+b}\cap A}.$$ Hence $ Un$ is generated by $u_1,\ldots,u_s$ where every component of $u_i$ is $\alpha_{ji}x^{a_i+b_j}$ for some $\alpha_{ji}\!\en\!K$.
Por lo tanto nuestro módulo es isomorfo a la cokernel de la matriz $$\left[\begin{matrix} \alpha_{11}x^{a_1+b_1} &\alpha_{12}x^{a_1+b_2}&\ldots&\alpha_{1s}x^{a_1+b_s}\\ \alpha_{21}x^{a_2+b_1} &\alpha_{22}x^{a_2+b_2}&\ldots&\alpha_{2s}x^{a_2+b_s}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \alpha_{r1}x^{a_r+b_1} &\alpha_{r2}x^{a_r+b_2}&\ldots&\alpha_{rs}x^{a_r+b_s}\\ \end{de la matriz}\right].$$ Ahora podemos hacer la fila y columna de las operaciones, sin necesidad de cambiar el isomorfismo tipo de módulo. Pero no estoy seguro de cómo la anterior puede ser transformado en $$\left[\begin{matrix} x^{c_1} &&&\\ &x^{c_2}&&\\ &&\ddots&\\ &&&x^{c_s}\\ \end{de la matriz}\right].$$
Si mi conjetura no es válido, pido un contraejemplo. Por ejemplo, si $n=2$$R=K[x,y]$, son $Coker\left[\begin{smallmatrix} x^2y &xy\\ & xy^2\\ \end{smallmatrix}\right]$ or $Coker\left[\begin{smallmatrix} x &y\\ \end{smallmatrix}\right]$ or $Coker\left[\begin{smallmatrix} x \\y \end{smallmatrix}\right]$ no de la forma anterior?
Existe alguna otra clasificación de $\mathbb{N}^n$-graduado $K[x_1,\ldots,x_n]$-módulos? Tal vez son de la formulario de $\bigoplus_{i=1}^sR^{[a_i]}/\langle x^a; a\!\in\!A_i\rangle$ para algunos (único?) $a_1,\ldots,a_s\!\in\!\mathbb{N}^n$ $A_1,\ldots,A_s\!\subseteq\!\mathbb{N}^n$?
Por Monomio Ideales (Herzog & Hibi, 2011), Dickson lema 2.1.1, cada $A_i$ puede ser finito. También, los elementos de $A_i$, se asume el incomparable w.r.t. el de las componentes de orden parcial en $\mathbb{N}^n$.
Respuesta
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Para $n=2$ deje $M$ ser el módulo con graduada partes $$M_{i,j}=\begin{cases} K&\mbox{ if }(i,j)=(1,1),(1,0)\mbox{ or }(0,1)\\ 0&\mbox{ otherwise.} \end{casos}$$ y con $x_1$ $x_2$ actuando como isomorphisms $M_{0,1}\to M_{1,1}$ $M_{1,0}\to M_{1,1}$ respectivamente.
Luego de su conjetura no es cierto para $M$.
Si $n>2$ (posiblemente también a$n=2$), entonces este es un "salvaje" problema: la clasificación de dichos módulos es al menos tan difícil como la clasificación de los pares de matrices cuadradas de hasta simultánea conjugacy.
Edit: Esta última afirmación no es demasiado complicado de ver por $n=5$:
Deje $V=K^d$ y deje $A,B$ $d\times d$ matrices de más de $K$. Definir un multigraded $K[x_1,\dots,x_5]$-módulo de $N=N(A,B)$ con
$$ N_{00000}=V\oplus V,$$ $$N_{10000}=N_{01000}=N_{00100}=N_{00010}=N_{00001}=V,$$ y todos los demás componentes de cero, por lo que la acción de cada una de las $x_i$ está determinado por un mapa de $V\oplus V\to V$, dada por las matrices $$\begin{align} X_1&=\begin{pmatrix}I_n&0\end{pmatrix}\\ X_2&=\begin{pmatrix}0&I_n\end{pmatrix}\\ X_3&=\begin{pmatrix}I_n&I_n\end{pmatrix}\\ X_4&=\begin{pmatrix}I_n&A\end{pmatrix}\\ X_5&=\begin{pmatrix}I_n&B\end{pmatrix}\\ \end{align}$$
Un sencillo cálculo muestra que un isomorfismo $N(A,B)\cong N(A',B')$ está determinado por un solo automorphism de $V$, dado por una matriz de $T$ tal que $T^{-1}AT=A'$ $T^{-1}BT=B'$ , por lo que la clasificación de esta clase particular de multigraded módulos hasta el isomorfismo es sólo la clasificación de los pares de matrices cuadradas de hasta simultánea conjugacy.
