la ecuación.

Question

Un número natural fijo $n$, quiero estudiar las soluciones del número entero de $$a^2 = b^2 + 4n.$$ There is always at least one solution, namely $$(n+1)^2 = (n-1)^2 + 4n.$$ There can be others; for example, the solutions of $a ^ 2 = b ^ 2 + 24$ are $$(a,b) = (\pm 7, \pm 5), \; \; (\pm 5, \pm 1).$$ conjetura: no hay ningún soluciones $(a,b)$ $|a| > n+1$.

Pensé en factoring $4n = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Así que definitivamente no debe haber soluciones $|a| > 4n$ ya que al menos uno de los factores sería mayor al $4n$. ¿Podemos conseguir hasta $n+1$?

Answer 1

Si $|a|=n+2$ y $b^2=(n+2)^2-4n$, que es estrictamente mayor que $n^2$ pero menos de $(n+2)^2$, por lo tanto debe ser $(n+1)^2$, que $n^2+4=n^2+2n+1$ lo $n=3/2$(not possible)

Ahora si $|a|=n+3$ y $(n+3)^2-4n$ es un cuadrado perfecto, que es estrictamente mayor que $(n+1)^2$ pero menos de $(n+3)^2$, por lo tanto debe ser $(n+2)^2$, que $n^2+2n+9=n^2+4n+4$ lo $n=5/2$(not possible)

Ahora si $|a|>n+3$

$a^2>a^2-4n>(a-1)^2$ Por lo tanto no es un cuadrado perfecto como es mentira entre dos consecutivos cuadrados perfectos, por lo tanto tu conjetura es verdadera.