Olvídate de la $\cos,\sin$ función, muestran que $\left|1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...\right|\leq1$

Question

Olvídate de la $\cos,\sin$ función, muestran que $\left|1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...\right|\leq1$

He intentado utilizar la diferenciación, pero no parece útil. Por favor, ayudar. Gracias.

Answer 1

Definir $$f(x)=\sum_{n\geqslant 0} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

Uno puede ver fácilmente este converge para cualquier $x$. Tenga en cuenta que $$f''+f=0$$ whence $$f'f''+ff'=0$$ which means $$f'^2+f^2=K$$

Conectando los valores que ver $K=1$; por lo tanto $$f'^2+f^2=1$$ whence we must have $|f'|,|f|\leq 1$ for all $x$.