Funciones armónicas en $\mathbf{Z}^2$

Question

Problema 1: Encontrar todas las funciones $f:\mathbf{Z}^2 \to \mathbf{R}$ que son armónico en el sentido de que $$f(x,y) = \frac{f(x+1,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1)}{4}$$ para todos $(x,y)\in\mathbf{Z}^2$ y que también son Lipschitz en el sentido de que los gradientes $$f(x+1,y)-f(x,y)\\f(x-1,y)-f(x,y)\\f(x,y+1)-f(x,y)\\f(x,y-1)-f(x,y)$$ están todos globalmente acotados.

Ejemplos evidentes: $f = 1$ , $f=x$ , $f=y$ y sus combinaciones lineales. ¿Esto es todo?

Problema 2: ¿Qué otros ejemplos obtenemos si debilitamos la condición de Lipschitz, por ejemplo permitiendo que los gradientes crezcan a lo sumo linealmente (con respecto a la distancia desde $(0,0)$ )?

Problema 3: ¿Cuánto cambia el carácter de nuestros ejemplos si sustituimos el grupo electrógeno $S = \lbrace (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\rbrace$ por otro conjunto (simétrico) $S$ que genera $\mathbf{Z}^2$ ? Por ejemplo, ¿y si exigimos que $$f(x) = \frac{1}{|S|}\sum_{s\in S}f(x+s),$$ porque, digamos, $S = \lbrace s: \|s\|_2\leq 100\rbrace$ ? ¿Cambia la dimensión del espacio de funciones armónicas de Lipschitz?

[Antecedentes: Estoy tratando de entender el teorema de Kleiner, que establece que si un grupo finitamente generado $G$ tiene crecimiento polinómico, entonces el espacio de funciones armónicas de Lipschitz sobre $G$ tiene dimensión finita. El ejemplo más sencillo $G=\mathbf{Z}$ es bastante sencillo, pero el segundo ejemplo más sencillo $G=\mathbf{Z}^2$ ya me parece poco obvio].

Answer 1

Lema . Sea $f$ sea una función armónica acotada en $\mathbb Z^n$ con respecto a un paseo aleatorio que no está restringido a ningún subconjunto adecuado de la cuadrícula. Entonces $f$ es constante.

Prueba (de Principios de la marcha aleatoria de F. Spitzer). Si $f$ no es constante, entonces la función $g(x)=f(x+a)-f(x)$ tiene supremum positivo $M$ para algunos $a$ . Sea $x_n$ sea una secuencia tal que $g(x_n)\to M$ . Sea $g_n(x)=g(x+x_n)=f(x+a+x_n)-f(x+x_n)$ . Utilizando el argumento de la diagonal de Cantor, elija una subsecuencia de $g_n$ que converge en cada punto de la cuadrícula. Sea $h$ sea el límite de esta subsecuencia. Dado que $h$ es armónico y alcanza su máximo en $0$ tenemos $h\equiv M$ . Debido a la convergencia puntual, para cualquier entero positivo $N$ existe $n$ tal que $g_n>M/2$ en los puntos $0,a, 2a, \dots, Na$ . De ello se deduce que $f(x_n+Na)-f(x_n)=\sum_{k=0}^{N-1} g_n(ka)>MN/2$ lo que contradice la acotación de $f$ . $\Box$

Otra prueba más probabilística es aquí pero utiliza la recurrencia del paseo aleatorio y, por lo tanto, sólo funciona en dos dimensiones (no para la dimensión general como se afirma allí).

Respuesta 1 : Si una función armónica sobre $\mathbb Z^2$ es Lipschitz, entonces es de la forma $f(x,y)=ax+by+c$ . Efectivamente, $g(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y)$ es acotada y armónica, por tanto constante por el Lemma. Análogamente, $f(x,y+1)-f(x,y)$ es constante y, por tanto $f$ es lineal.

Respuesta parcial 2 : El crecimiento lineal en derivadas permite polinomios armónicos de 2º grado $f(x,y)=xy$ y $f(x,y)=x^2-y^2$ . Creo que son todos (es decir, el espacio es de 5 dimensiones) pero no tengo una prueba. Los límites polinómicos de orden superior permitirán polinomios de grado superior, que son similares, pero no idénticos, a los polinomios armónicos en $\mathbb R^2$ : véase el artículo expositivo Funciones analíticas discretas por Lovász.

Respuesta 3 : El espacio no cambiará, porque la prueba de la respuesta 1 se aplica aquí también.