Cómo puedo definir $\mathbb{N}$ si me postulado de la existencia de un Dedekind-infinito conjunto en lugar de la existencia de un conjunto inductivo?

Question

Supongamos que en los axiomas de la $\sf ZF$ hemos sustituido el Axioma del infinito

Existe un conjunto inductivo.

con el Axioma de Dedekind-infinito conjunto de

Existe un conjunto equiparada con su propio subconjunto.

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Cómo puedo definir el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ en este entorno, y demostrar que es el único mínima inductivo?

Answer 1

Asaf, el argumento de los usos de la fundación, permítanme esbozar un argumento que evitar:

Tenga en cuenta que $\omega$ es definible clase, es un ordinal, y hemos terminado, o la clase de todos los ordinales. La cuestión es demostrar que es un conjunto. Deje $D$ ser Dedekind-infinito, y deje $f:D\to D$ ser inyectiva pero no surjective. Esto significa que hay un $x\in D$, pero no en la imagen de $f$. Podemos utilizar la recursividad (desde los números naturales puede ser definida y sus propiedades básicas establecidas) para mostrar que $x,f(x),f^2(x),\dots$ son todos diferentes. El conjunto $\{f^n(x)\mid n$ es un número natural$\}$ existe, por la comprensión. Por sustitución, por lo que no $\omega$.

Por cierto, puede adoptar los más débiles, incluso axioma: Hay un conjunto infinito. El punto es que si $X$ es infinito, $\mathcal P(\mathcal P(X))$ es Dedekind infinito.

Answer 2

Supongamos que $A$ es un Dedekind-infinito conjunto. Primero considere el $T=\operatorname{TC}(A)$, el cierre transitivo de $A$. Ahora considere la función $f(x)=\operatorname{rank}(x)$, cuyo dominio es $T$.

Por el axioma de reemplazo de la gama de $f$ es un conjunto, y no es difícil demostrar que tiene para ser un ordinal.

Por último, demostrar por inducción que si $n$ es un ordinal finito,¹ entonces no hay Dedekind-infinito de conjuntos de rango $n$ (no necesitamos un conjunto inductivo, si tal juego no existe, es sólo una inducción en la clase de los números ordinales). Y por lo tanto no es un infinito ordinal en el rango de $f$. Tome $\omega$ como el menos ordinal.

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1. Es fácil definir un ordinal finito si ya sabes lo $\omega$ es, pero en su ausencia puede definir un número finito ordinal a ser un Dedekind-finito ordinal; o si realmente te gusta, entonces usted puede utilizar una de las muchas otras formulaciones de la finitud. Mi favorito es debido a Tarski:

   $A$ es finito si y sólo si para cada a $U\subseteq\mathcal P(A)$ que no está vacío, hay un $\subseteq$-elemento maximal en $U$.