Mostrar que $(R/I)[x]\cong R[x]/I[x]$.

Question

Si $R$ es un anillo conmutativo con unidad y $I$ es un ideal de a $R$ a continuación muestran que la $(R/I)[x]\cong R[x]/I[x]$.

Mi esfuerzo: Definir $\phi :R[x]\to (R/I)[x]$

$\phi(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n)=(a_0+I)+(a_1+I)x+(a_2+I)x^2+\cdots +(a_n+I)x^n$

Obviamente $\phi $ es un anillo homomorphism y surjective.

$\ker \phi =\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n:\phi(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n)=I\}$

Por lo $(a_0+I)+(a_1+I)x+(a_2+I)x^2+\cdots +(a_n+I)x^n=I\implies a_i\in I\forall i$

Por lo $\ker \phi=I[x]$

Es la prueba de la correcta? Por favor, ayudar.

Answer 1

Definitivamente, usted tiene la idea correcta, pero lo que has escrito no está bien. Si dejamos $\pi:R \longrightarrow R/I$ ser la canónica cociente mapa, el mapa $\phi$ puede ser expresado como $\phi(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n) = \pi(a_0) + \pi(a_1)x + \cdots \pi(a_n)x^n$. Como usted señala, $\phi$ es un surjective anillo homomorphism. Por el Primer Teorema de Isomorfismo, hemos terminado si podemos mostrar que el núcleo de $\phi$$I[x]$.

Supongamos que $\phi$ mapas de $a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$ a cero. Recordemos que un polinomio es cero si y sólo si cada uno de sus coeficientes es cero. Esto significa que $\pi(a_i) = 0$ por cada $i$. Por la definición de $\pi$, esto implica que $a_i \in I$ por cada $i$, y llegamos a la conclusión de que nuestro polinomio es en $I[x]$.