Es esta reafirmación de Gauss lema correcto?

Question

Esto parece muy trivial, pero quiero hacer realmente seguro de lo que estoy publicando. Este es un sí o no pregunta.. (lo Siento por publicar este tipo de pregunta, pero realmente me pregunto si creo que mal)

Aquí está una de Gauss, lema (Dummit&Foote versión)

Deje $R$ ser un UFD y $F$ a ser el campo de cocientes de a $R$.

Deje $A,B\in F[X]$ ser polinomios no constantes tales que $AB\in R[X]$. Entonces, hay un valor distinto de cero elementos $r,s\in F$ tal que $rA, sB$ ambos se encuentran en $R[X]$$AB=(rA)(sB)$.

Es esta declaración equivalente a la siguiente afirmación?

Deje $f,g\in F[X]$ ser distinto de cero polinomios tales que el $fg\in R[X]$. Entonces, existe $r\in F\setminus\{0\}$ tal que $rf$ $\frac{1}{r} g$ ambos se encuentran en $R[X]$.

(Yo estoy pidiendo esto ya que yo no tengo por qué Dummit&Foote escribió dos símbolos $r,s$ en lugar de $r,\frac{1}{r}$)

Answer 1

Sí, eso es correcto, aviso que $$p(x) = A(x)B(x) = a(x)b(x) = \big(rA(x)\big)\big(sB(x)\big) = rsA(x)B(x)$$ and since a UFD ($F[x]$ in this case, which is actually an ED since $F$ is a field) is an integral domain, we can cancel out to get $rs = 1$.