Es $f(n)=n$ la única biyección polinómica de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ ?

Question

Es $f(n)=n$ la única biyección polinómica de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ ?

He intentado mucho encontrar otro ejemplo, pero no lo he conseguido. Si efectivamente no hay otro, ¿cómo puedo demostrar tal unicidad?

Answer 1

1. Su coeficiente principal debe ser positivo (si no, acabaría siendo negativo).
2. Si su grado es mayor que $1$ Entonces, acabará aumentando a un ritmo que impida la sobreexplotación.

Así que esto reduce el problema a encontrar $a$ y $b$ tal que $n \mapsto an+b$ es una biyección.

Answer 2

Dado que un polinomio sólo puede cambiar de dirección (creciente frente a decreciente) un número finito de veces, cualquier biyección polinómica $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ debe ser finalmente la identidad. En particular, dos biyecciones polinómicas cualesquiera $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ son infinitamente iguales. Pero dos polinomios que son infinitamente iguales son realmente iguales.

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Un poco más de explicación:

• Tenga en cuenta que si $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es una biyección (polinómica o no) y $f(a)>a$ , entonces para algunos $b>a$ tenemos $f(b)<f(a)$ - esta es una aplicación rápida de el principio del encasillamiento .

• Así que si $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es una biyección tal que $f(a)>a$ para un número infinito de $a$ , entonces podemos encontrar infinitas pares $c,d$ con $c<d$ pero $f(c)>f(d)$ . En particular, esto significa que $f$ cambia de dirección infinitas veces.

• Por último, pasamos a las propiedades específicas de los polinomios. Ambas afirmaciones -que ningún polinomio cambia de dirección infinitamente a menudo, y que dos polinomios que coinciden infinitamente a menudo son iguales- se demuestran de forma similar. PISTA: piensa en el hecho de que cualquier polinomio no constante sólo tiene un número finito de ceros...