¿Puede alguien decirme si y por qué $\text{Im}\,f+\ker f=R$ se cumple para un operador autoadjunto $f:R\rightarrow R$ donde $R$ ¿es un espacio de producto interno de dimensión finita?
¿Puede alguien darme un ejemplo de un operador en un espacio dimensional infinito para el que esa ecuación no sea cierta?
En general, esta ecuación no es cierta. Basta con considerar el mapa $$ f: \ K^2 \rightarrow K^2 $$ inducida por la matriz $$ \left(\begin{array} &0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$ Aquí el núcleo y la imagen son el mismo subespacio unidimensional. De hecho, la dimensión siempre se suma. Para demostrarlo, basta con aplicar el teorema del homomorfismo. También para espacios de dimensión inifita se puede aplicar la misma construcción que la dada aquí. Diferenciar una función no cumple la ecuación.
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