Son estos dos espacios homotopy equivalente?

Question

Deje $X$ $2$- esfera con dos pares de puntos identificados, decir $(1,0,0) \sim (-1,0,0)$$(0,1,0) \sim (0,-1,0)$. Escribir $Y$ para la cuña de la suma de dos círculos con un $2$-esfera: si importa, la esfera está en el "medio", de modo que los círculos que se adjunta en dos distintos puntos de la esfera.

Ahora creo que se puede mostrar, el uso de Mayer-Vietoris y van Kampen, que estos espacios tienen la misma homología (el de un toro) y fundamental (free on de dos generadores). Pero son homotopy equivalente?

Answer 1

Sí. Tomando la cuña de la suma con un círculo es la misma como la identificación de dos puntos (hasta homotopy, con un buen espacio, como la esfera en que es homogéneo).

Answer 2

Esto es en realidad un caso especial de el resultado que si $A \to X$ es un cerrado cofibration, y $f:A \to B$ es un mapa, a continuación, el natural mapa de $M(f) \cup X \to B \cup_f X$ es un homotopy equivalencia: aquí $M(f)$ es la asignación de cilindro de $f$, y el resultado es 7.5.4 de mi libro de Topología y groupoids.

Para su caso, usted tiene que tomar el $A$ a consistir $4$, e $B$ a consistir $2$ puntos.

Aquí es la parte de la imagen general

y aquí está una foto de el caso especial en que le pidieron, pero con sólo un par de puntos identificados: