La integración de más de un medidor de campo en el campo integral formalismo

Question

Actualmente estoy tratando de estudiar un capítulo en Altland & Simons, "de la Materia Condensada, la Teoría de Campo" (2ª edición) y yo estoy atrapado en el final de la sección 9.5.2, página 579.

Dada la distancia euclídea de Chern-Simons acción para un medidor de campo $a_µ$ que está acoplado a una corriente $j_µ$

$$ S[a_µ,j_µ] = ∫d^3x (j_µ a_µ + \frac{iθ}4ε_{µνλ}a_µ ∂_ν a_λ) $$

la tarea es integrar el medidor de campo y obtener la efectiva acción de la corriente.

Dado que este es un medidor de campo, tenemos que tener cuidado acerca de lo superfluo indicador grado de libertad. Altland & Simons tenga en cuenta que una manera de hacerlo sería la introducción de un medidor de fijación de plazo $α (∂_µ a_µ)^2$ y deje $α\to ∞$ al final.

Sin embargo, esto no parece funcionar. En el impulso de espacio, la Chern-Simons acción plus medidor de la fijación de los términos, que es proporcional a

$$∫ d^3t\ a_µ(-q) \left( \begin{array}{ccc} \alpha q_0^2 & -i q_2 & i q_1 \\ i q_2 & \alpha q_1^2 & -i q_0 \\ -i q_1 & i q_0 & \alpha q_2^2 \end{array} \right)_{µν} a_v(q) .$$

Para obtener la efectiva acción de la corriente, sólo tengo para invertir esta matriz, a la que llamamos $A_{µν}$, y enviar a $α\to ∞$. Pero esto no puede ser. Por ejemplo, una entrada de la matriz inversa lee

$$ A^{-1}_{01} = \frac{-q_0 q_1-i q_2^3 \alpha }{q_1^2 q_2^2 q_0^2 \alpha ^3 - α(q_0^4+q_1^4+q_2^4) } $$

y esto se desvanece en el límite de $α\to∞$. Mismo para el resto de las entradas. Esto es malo.

Mi pregunta, por lo tanto

Cómo realizar correctamente la integral funcional de más de un medidor de campo $a_µ$ con un medidor de fijación de la contribución $α(∂_µ a_µ)^2$ donde $α\to ∞$?

Soy consciente de que hay otros métodos, por ejemplo, para integrar sólo a través de la transversal grados de libertad, como Altland & Simons nota. No me importa aprender acerca de ellos, pero me gustaría entender el que se presenta aquí en particular. Por no hablar de que yo pueda haber cometido un simple error en el cálculo anterior.

Answer 1

En el presente caso, creo que es más conveniente para llevar a cabo el propagador de la computación covariantly (y no en los componentes).

A la inversa propagador (en el impulso de espacio) se puede leer desde el Abelian Chern Simons acción incluyendo el medidor de fijación de plazo como:

$ G^{-1}_{\mu\nu}(k) = \alpha q_{\mu} q_{\nu} + i \frac{\theta}{4} \epsilon_{\mu\nu\rho}q^{\rho}$

Para el propagador utilizamos el Ansatz:

$G_{\sigma\tau}(k) = \beta q_{\sigma} q_{\tau} + i \gamma \epsilon_{\sigma\tau\eta}q^{\eta}$

Los parámetros de $\beta$ $\gamma$ debe ser calculada para la condición:

$ G^{-1}_{\mu\nu}(k) \delta^{\nu\sigma} G_{\sigma\tau}(k)= \delta_{\mu\tau} $

Por favor observe que el predicador no puede contener un término proporcional a $\delta_{\nu\sigma}$, debido a que este término sería el resultado de un término proporcional a $\epsilon_{\mu\sigma\tau}q^{\tau}$ después de la contracción con la inversa de la propagador de la que no puede ser cancelado con cualquier otro término.

Obtenemos:

$(\alpha \beta q^2 -\frac{\theta}{4} \gamma) q_{\mu} q_{\tau} + \frac{\theta}{4} \gamma q^2 \delta^{\mu\tau} = \delta^{\mu\tau}$

(Donde, La siguiente identidad se utilizó: $\delta^{\nu \sigma}\epsilon_{\mu\nu\rho} \epsilon_{\sigma\tau\eta} = \delta_{\mu \eta}\delta_{\rho \tau}- \delta_{\mu \tau}\delta_{\rho \eta}$)

Por lo tanto:

$ \gamma = \frac{4}{\theta q^2}$

$ \beta = \frac{\theta \gamma }{4 \alpha q^2} = \frac{1}{\alpha q^4}$

Por lo tanto $ \beta $ se desvanece en el límite de $ \alpha \to \infty$ y nos quedamos con la acción efectiva:

$ \frac{1}{\theta}\int d^3q J^{\sigma}(-q) \frac{\epsilon_{\sigma\tau\eta}q^{\eta}}{q^2} J^{\tau}(-q)$

El factor 4 se cancela con un factor similar procedente de la plaza de finalización.