Mostrando que $x^3$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$

Question

Refiriéndose a la fuente original http://math.stanford.edu/~ksound/Math171S10/Hw8Sol_171.pdf

Demuestra que $f(x) = x^3$ no es uniformemente continua en $\Bbb R$.

Quiero usar un método más elemental, sin mencionar espacios métricos. Su elección de $\delta$ me confunde, así que quiero presentar un método más "elemental". No estoy seguro de si es correcto.

Aquí elegí $|a| > \dfrac{\epsilon}{3\delta}$ y $x > a - \delta$

Así $$\begin{align} |x^3 - a^3| &= |x - a||x^2 + ax + a^2| \\&>|x^2+ax +a^2| \\&> |(a-\delta)^2+a(a - \delta) + a^2|\\&=|3a^2-3a\delta+\delta^2| \\&> 3\delta|a| \end{align}$$

Answer 1

Su solución en realidad no utiliza ideas de espacios métricos. Aquí hay una elaboración.

Supongamos que $f(x)=x^3$ fuera uniformemente continua. Entonces, para cualquier $\epsilon$, existe un $\delta$ que funciona para todo $a$. Tomemos $\epsilon=1$; ahora nos dan $\delta$ de tal manera que para todo $a$ y para todo $x$ con $|x-a|<\delta$, debemos tener $|f(x)-f(a)|<\epsilon$.

Elija un $a$ lo suficientemente grande de manera que $\frac{3\delta a^2}{2}>1$; por ejemplo, $a=\sqrt{\frac{2}{3\delta}}+1$ funciona. Ahora tome $x=a+\frac{\delta}{2}$; esto satisface $|x-a|=\frac{\delta}{2}<\delta$. Por lo tanto, DEBERÍAMOS tener $|f(x)-f(a)|<\epsilon=1$. En cambio, tenemos $|f(x)-f(a)|=|f(a+\frac{\delta}{2})-f(a)|=|(a+\frac{\delta}{2})^3-a^3|=\left|3a^2\frac{\delta}{2}+3a\frac{\delta^2}{4}+\frac{\delta^3}{8}\right|\ge \left|3a^2\frac{\delta}{2}\right|>1$.

Esto es una contradicción, por lo tanto, $f(x)$ no es uniformemente continua.

Answer 2

Recuerda que la definición de continuidad uniforme es

$f:A\to\Bbb R$ es uniformemente continua si para cada $\epsilon>0$ existe un $\delta >0$ (dependiendo únicamente de $\epsilon$) tal que siempre que $x,y\in A$ y $|x-y|<\delta$; se cumple $$|f(x)-f(y)|<\epsilon$$

Ahora, para demostrar que una función no es uniformemente continua, debemos mostrar que

Existe $\epsilon >0$ tal que para cualquier $\delta >0$ podemos encontrar $x,y\in A$ para los cuales $|x-y|<\delta$ pero $$|f(x)-f(y)|\geq \epsilon$$

Esto se traduce casi inmediatamente a

Existen un par de secuencias $\langle x_n\rangle ,\langle y_n\rangle$ en $A$ tal que $$\lim\limits_{n\to\infty}(x_n-y_n)=0$$ pero $$\lim\limits_{n\to\infty}(f(x_n)-f(y_n))\neq 0$$

Ahora, ¿puedes encontrar tales secuencias para $f(x)=x^3$?

PISTA Piensa en $x_n=(n+1)^{1/3}$, $y_n=n^{1/3}$. No debería sorprender que las secuencias no estén acotadas, y sin embargo se acerquen arbitrariamente. De hecho, $x^3$ sí es uniformemente continua en cualquier intervalo acotado, por lo que es necesario que las secuencias no estén acotadas. Esta es esencialmente la razón por la que falla la continuidad uniforme aquí. Observa que la inversa funcional $x^{1/3}$ sí es uniformemente continua en $\Bbb R$.

OBS Lo anterior se puede utilizar para mostrar que $x^n$ no es uniformemente continua siempre que $n> 1$.