Secuencias delta de Dirac

Question

¿Es cierto que cualquier secuencia de funciones reales $(\delta_n)_n$ tal que $$\lim_{n\to\infty} \delta_n(x) = 0 \qquad \forall\,x\ne 0$$ y $$\int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)\,dx = 1 \ ,$$ tiende a una función delta, $$\lim_{n\to\infty} \delta_n(x) = \delta(x)$$ en el sentido de que $$\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,\delta_n(x) \, dx = \phi(0)$$ para cualquier función de prueba real $\phi$ ? En caso negativo, ¿qué si no se debe asumir para que la secuencia $(\delta_n)_n$ necesariamente tiende a una función delta?

Answer 1

No. Por ejemplo, tomemos la función $\delta_n(x) = 1$ cuando $x \in [n, n+1]$ y $0$ de lo contrario.

EDIT: Las siguientes condiciones darán la conclusión que deseas: $\delta_n(x) \geq 0$ , $\int_\mathbb{R} \delta_n(x) = 1$ , $\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta_n(x) dx \to 1$ para todos $\epsilon > 0$ . Estoy bastante seguro de que otras combinaciones de condiciones funcionarán, pero no estoy seguro de cuáles son las condiciones necesarias y suficientes. Es una pregunta interesante.

Este es el argumento: Dejemos que $$ E_n = \int_\mathbb{R} \phi(x) \delta_n(x) \, dx - \phi(0) = \int_\mathbb{R} (\phi(x)-\phi(0)) \delta_n(x) \, dx $$ utilizando la segunda condición. Entonces $$ |E_n| \leq \int_{\epsilon}^{\epsilon} |\phi(x)-\phi(0)|\delta_n(x) \, dx + \int_{\mathbb{R} \setminus [-\epsilon, \epsilon]} |\phi(x)-\phi(0)| \delta_n(x) \, dx $$ o $$ |E_n| \leq \sup_{x \in [-\epsilon, \epsilon]} |\phi(x)-\phi(0)| \int_{-\epsilon}^\epsilon \delta_n(x) \, dx + 2 \sup_{x \in \mathbb{R}} |\phi(x)| \int_{\mathbb{R} \setminus [-\epsilon, \epsilon]} \delta_n(x) \, dx. $$ Por la última (y segunda) condición, $$ \limsup_{n \to \infty} |E_n| \leq \sup_{x \in [-\epsilon, \epsilon]} |\phi(x)-\phi(0)|. $$ Toma $\epsilon \to 0$ y ya está.

Answer 2

Usted podría establecer han $ \delta_n(x) = n/2 $ si $x\in (0,1/n]$ o $x\in (1,1+1/n]$ . Entonces $$ \lim \int_{-\infty}^\infty \phi(x)\delta_n(x)dx = \frac12(\phi(0)+\phi(1)) $$ para todas las funciones continuas $\phi$ .