$\Bbb K$ es una extensión que no pertenece a Galois de$\Bbb Q$ y$[K:\Bbb Q]=4$. Si$\Bbb F$ es el cierre de Galois de$\Bbb K$, entonces muestre que$Gal(\Bbb F/\Bbb Q)$ es$S_4, A_4$ o$D_8$ con el orden 8. Además, quiero demostrar que$Gal(\Bbb F/\Bbb Q) = D_8$ iff$\Bbb K$ contiene una extensión cuadrática de$\Bbb Q$.
Respuesta
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El grupo de Galois $G_{F/\Bbb Q}$ debe ser un subgrupo de $S_4$, debido a $F$ es la división de campo de un polinomio de grado $4$ (el polinomio mínimo de cualquier elemento de generación de $K/\Bbb Q$). El subgrupo $H$ $G_{F/\Bbb Q}$ con el campo fijo $K$ debe tener el índice de $4$. Por lo tanto,$4\mid\# G_{F/\Bbb Q}\mid 24$, por lo que los únicos valores de $\#G_{F/\Bbb Q}$ entre $4,8,12,24$. Además $K/\Bbb Q$ no es normal lo $H\le G_{F/\Bbb Q}$ no es normal, y esto excluye el valor de $4$ y significa $G_{F/\Bbb Q}$ debe ser nonabelian.
Ahora esto se convierte en un grupo de teoría problema. Entre los cuaterniones y diedro grupos de orden ocho mostrar la primera no tiene un índice cuatro no-normal subgrupo. Argumentar la alternancia grupo es el único subgrupo del grupo simétrico de índice dos (esto se hace cargo de la orden de $12$).
De vuelta a la teoría de Galois, podemos decir $K$ contiene una ecuación cuadrática campo de número de iff $H$ está contenida en un índice de dos subgrupos (correspondiente a dicho campo) de $G_{F/\Bbb Q}$. Comprobar que los grupos siguen en la tabla permiten esta posibilidad. (Descargo de responsabilidad: no he comprobado yo mismo todavía, así que va a ser una aventura.) Me gustaría utilizar el groupprops wiki u otros recursos para encontrar un entramado de subgrupos de $S_4$ de la ayuda.
